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第28讲概率考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点一事件的分类事件类型定义概率必然事件在一定条件下,必然会发生的事件1不可能事件在一定条件下,必然不会发生的事件0随机事件在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件0~1之间考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点二列举法求等可能事件的概率(高频)1.概率一般地,表示一个随机事件A发生可能性大小的数,称为这个事件发生的概率,记为P(A).2.公式一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且这些结果发生的可能性相等,其中使事件A发生的结果有m(m≤n)种,那么P(事件A的概率)=.3.当事件中包含两个因素时,可用列表法列举所有的结果;当事件中涉及两个或两个以上因素时,采用树状图法列举所有的结果.mn考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点三利用频率估计概率在大量重复试验中,事件A出现的频率稳定在一个常数附近,我们可以估计事件A发生的概率约为.mnmn考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点四概率的应用对于游戏规则是否公平问题,需要计算游戏双方获胜的概率,通过比较概率的大小进行判断,若概率相等,则游戏规则公平,否则就不公平.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点1事件的判定1.(2011·安徽,5,4分)从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列推断正确的是(B)A.事件M是不可能事件B.事件M是必然事件C.事件M发生的概率为15D.事件M发生的概率为25命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点2概率的计算2.(2016·安徽,21,12分)一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数.(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数;(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解(1)用列表分析所有可能的结果:所得的两位数为11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88,共16个数;(2)算术平方根大于4且小于7的共6个,分别为17,18,41,44,47,48,则所求概率.1478111141718441444748771747778881848788P=616=38命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点33.(2014·安徽,21,12分)如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1,(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?(2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解(1)共有三种等可能的情况,(2)画树状图如右:所有等可能的情况有9种,其中这三根绳子能连接成一根长绳的情况有6种,8分则恰好选中绳子AA1的概率是13;则所求概率P=69=23.命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点34.(2013·安徽,8,4分)如图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯泡同时发光的概率为(B)A.16B.13C.12D.23命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解析画树状图得:∵共有6种等可能的结果,能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关K1,K3与K3,K1,∴能让两盏灯泡同时发光的概率为.故选B.26=13命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点35.(2012·安徽,8,4分)给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打电话给甲的概率为(B)A.16B.13C.12D.23解析第1个打电话给甲、乙、丙(因为次序是任意的)的可能性是相同的,所以第一个打电话给甲的概率是.故选B.13命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3概率的应用6.(2015·安徽,19,10分)A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解(1)画树状图如右:两次传球后,一共有4种等可能的情况出现,而出现球恰在B手中的情况有1种,所以P(球恰在B手中)=;5分(2)画树状图如右:三次传球后,一共有8种等可能的情况出现,而出现球恰在A手中的情况有2种,所以P(球恰在A手中)=.10分1428=14命题点4考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4概率与统计综合7.(2018·安徽,21,12分)“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图,部分信息如下:扇形统计图频数直方图考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4(1)本次比赛参赛选手共有人,扇形统计图中“69.5~79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为;(2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,并说明理由;(3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)50,30%(2)不能.由频数分布直方图可得“89.5~99.5”这一组人数为12人,12÷50=24%,则79.5~89.5和89.5~99.5两组占参赛选手60%,而7879.5,所以他不能获奖.(3)方法1:由题意得树状图如下由树状图知,共有12种等可能结果,其中恰好选中1男1女的结果共有8种,故P=812=23.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4方法2:用A,B表示男生,a,b表示女生,则从四名同学中任取2人,共有AB,Aa,Ab,Ba,Bb,ab这6种等可能结果,其中1男1女有Aa,Ab,Ba,Bb这4种结果,于是所求概率为P=46=23.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法1事件的判断例1(2018·山东淄博)下列语句描述的事件中,是随机事件的为()A.水能载舟,亦能覆舟B.只手遮天,偷天换日C.瓜熟蒂落,水到渠成D.心想事成,万事如意答案:D解析:选项A是一个正确的事实,所以不属于随机事件;选项B是不可能事件;C选项也是必然事件;D选项是随机事件,故选D.方法总结本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的概率,必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,随机事件发生的概率大于0小于1.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练1(2018·四川凉山)以下四个事件是必然事件的是(B)①|a|≥0;②a0=1;③am·an=amn;④a-n=1𝑎𝑛(a≠0,n为整数)A.①②B.①④C.②③D.③④解析:①显然正确;②a0=1,没有强调a≠0,∴错误;③am·an=am+n,∴错误.①与④正确.故选择B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练2(2018·湖南长沙)下列说法正确的是(C)A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上B.天气预报说“明天的降水概率为40%”,表示明天有40%的时间都在降雨C.“篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件D.“a是实数,|a|≥0”是不可能事件解析:A.掷硬币是随机事件,不一定几次正面朝上,故A错误;B.表示降雨的可能性为40%,不是降雨时间为40%,故B错误;C.篮球队员投篮一次,可能投中,也可能投不中,故此事件为随机事件,C正确;D.根据绝对值的定义:实数a的绝对值为它本身(a≥0)或它的相反数(a0),可知“a是实数,|a|≥0”是必然事件,故D错误.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练3(2018·福建A卷)投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是(D)A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12解析:事先就知道一定能发生的事件是必然事件,所以两枚骰子向上一面的点数之和大于1是必然事件;事先知道它一定不会发生的事件是不可能事件,所以两枚骰子向上一面的点数之和等于1、两枚骰子向上一面的点数之和大于12是不可能事件;事先知道它有可能发生,也有可能不发生的事件是随机事件,所以两枚骰子向上一面的点数之和等于12是随机事件.故选D.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法2概率的计算例2(2017·江苏盐城)为了弘扬祖国的优秀传统文化,某校组织了一次“诗词大会”,小明和小丽同时参加.其中,有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗,其答案为“山重水复疑无路”.(1)小明回答该题时,对第2个字是选“重”还是选“穷”难以抉择.若随机选择其中一个,则小明回答正确的概率是;(2)小丽回答该题时,对第2个字是选“重”还是选“穷”、第4个字是选“富”还是选“复”都难以抉择.若分别随机选择,请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解:(1)12.(2)用表格列出所有可能出现的结果:重穷复(重,复)(穷,复)富(重,富)(穷,富)用树状图列出所有可能出现的结果:由表格(树状图)知,一共有4种可能出现的结果,它们是等可能的,其中正确回答只有1种.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4所以P(小丽回答正确)=14.方法总结本题小明回答正确的概率是“一步概率”,直接求解;小丽回答正确的概率是“两步概率”,先利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果,然后再求解.对于三步或三步以上的概率计算,考虑树状图法.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练4(2018·湖北宜昌)在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字,这个字是“绿”的概率为(B)A.310B.110C.19D.18解析:在“绿水青山就是金山银山”中共有10个字,只有1个“绿”,故这个字是“绿”的概率为110.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练5(2017·湖南娄底)在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是.13解析:闭合开关S1,S2,灯泡L1发光;闭合开关S1,S3,灯泡L1不发光;闭合开关S3,S2,灯泡L1不发光.所以随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是.13考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练6(2018·江苏连云港)汤