《分数的意义和性质》知识点总结

第四单元分数的意义和性质一、分数的意义在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这里常用分数来表示。一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。单位“1”与自然数1不同。单位“1”的量也叫标准量，用来跟标准量比较的量叫做比较量。单位“1”的找法：“是”、“占”、“相当于”、“比”字后面的量，“的”字前面的量。如果含有分数不带单位的那句话中一个关键字也没有，可以加进去再找。把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。（如：87表示把单位“1”平均分成8份，表示其中7份的数）（把一根8米长的铁丝平均分成5分，每段长58米，每段占整根铁丝的51）。1米的53和3米的51一样大。3分子：表示有这样的几份。分数线表示平均分4分母：表示把单位“1”平均分成的份数。写分数时先写分数线，再写分母，最后写分子。解决问题时，分数有带单位时表示数量，最后带什么单位就来分谁，分成几份就除以几；不带单位表示份数与数量无关。把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数叫做分数单位。（如：197的分数单位是91，它有16个这样的分数单位。带分数有几个分数单位要先把带分数化成假分数，再看分子是多少）一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。分母相同，分数单位就相同；分母不同，分数单位就不同。最大的分数单位是21，没有最小的分数单位，分母越小分数单位就越大。分数与除法的关系：（被除数相当于分数的分子；除数相当于分数的分母;除号相当于分数的分数线）被除数÷除数=除数被除数分母分子=分子÷分母（除数不能为0，分母也不能够为0）。a÷b=ba（b≠0）一个分数，不但可以从分数的意义上理解，也可以从分数与除法的关系上理解。例如：43表示把单位“1”平均分成4份，取其中3份的数；也可以表示为把3平均分成4份，得1份的数。“求一个数是（占）另一个数的几分之几”和“求一个数是另一个数的几倍”都用除法计算，即一个数÷另一个数=一个数是另一个数的几分之几（或几倍）。用“是”“占”前面的量除以他们后面的量。求鹅的只数是鸭的几分之几用（鹅的只数）÷（鸭的只数）=鹅的只数是鸭的几分之几。二、真分数和假分数分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数。带分数大于1。带分数是一部分假分数（分子不是分母的倍数）的另外一种书写形式，所以分数只分为真分数和假分数。真分数＜1≤假分数。带分数的读法：先读整数部分，再读分数部分，中间加个“又”字。在9a中（a为非0自然数），当a9时，它是真分数；当a≥9时，它是假分数；当a是9的倍数时，它能化成整数。把假分数化成整数或带分数：根据分数与除法的关系，用分子除以分母。如果能整除时，那么商就是所要化成的整数。如：714=14÷7=2。如果不能整除，那么商就是带分数的整数部分，余数就是带分数的分数部分的分子，分母不变。如：314，14÷3=4……2，分子除以分母商是4作带分数的整数部分，余数是2作分数部分的分子，分母是原来的分母3，所以314=14÷3=324。带分数化成假分数的方法：用带分数的整数部分乘分母加分子作假分数的分子，分母不变。任何整数都可以看成分母是1的分数。当分子和分母相等时，分数值是1，是最小的假分数，没有最大的假分数。整数都比分数大是错误的。53和54中间有无数个分数。三、分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。利用分数的基本性质可以把分母不同的分数化成分母相同的分数；也可以把一个分数化成指定分母的分数。四、约分、通分几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。公因数的个数是有限的。1是所有非0自然数的公因数。两个数的公因数是最大公因数的因数；最大公因数是公因数的倍数。几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做它们的最小公倍数。公倍数的个数是无限的。两个数的公倍数是它们的最小公倍数的倍数；最小公倍数是公倍数的因数；最小公倍数的倍数也是这两个数的公倍数。任意两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。任意两个数的最小公倍数一定大于这两个数和最大公因数一定大于这两个数是错误的。分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法．．．分解质因数（合数＝质数×质数×……×质数）。比如：30分解质因数是：（30＝2×3×5）2303155互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和8※两数互质的特殊情况：（1）1和任意非0自然数互质；⑵相邻两个非0自然数互质；⑶两个不同质数一定互质；（4）2和任意奇数互质；（5）相邻两个奇数互质。（6）一个质数，一个合数，合数不是质数的倍数。（7）较大数为质数，两个数一定互质。最大公因数和最小公倍数的特殊求法：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；当两个数只有公因数1时（互质时），最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。如：32是8的倍数，它们的最大公因数是8，最小公倍数是32。（A÷B=6或A=6B说明A和B成倍数关系则最大公因数是较小数B，最小公倍数是较大数A）一般关系的两个数求最大公因数和最小公倍数的方法：用12和16来举例求法一：（列举法）：先分别找出两个数的因数（倍数），再从中找出公因数（公倍数），最后找出最大公因数（最小公倍数）。最大公因数的求法：12的因数有：1、2、3、4、6、1216的因数有：1、2、4、8、16公因数是1、2、4最大公因数是4最小公倍数的求法：12的倍数有：12、24、36、48、…16的倍数有：16、32、48、…公倍数是48，96……最小公倍数是48求法二：（筛选法）先找出两个数中较小数的因数，再从中圈出另一个数的因数，最后看圈出的因数中哪一个最大。如16和12的公因数：○1，○2，3，○4，6，12先写出两个数中较大数的倍数，再从中圈出另一个数的倍数，最后找出最小的一个。如16和12的公倍数：16，32，○48，64，80，○96……求法三：（分解质因数法或短除法）分解质因数法就是将几个数各自分解成质因数的形式，把公有的质因数相乘得到的就是最大公因数。除了相同的还要乘不同的数得到的就是最小公倍数。12=2×2×316=2×2×2×2最大公因数是：2×2=4（相同乘）最小公倍数是：2×2×3×2×2=48（相同乘×不同乘）短除法：用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止）用短除法求两个数或三个数的最小公倍数（除到互质为止）除到两数互质时最大公因数是短除号前面的数相乘；最小公倍数除了短除号前面的还要乘以短除号下面的数。三个数的最大公因数除到有互质的数就行，最小公倍数要除到任意两个数都互质为止。分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分通常要约成最简分数。约分和通分的根据是分数的基本性质。约分的方法：逐次约分法：用分子和分母的公因数（1除外）依次去除分子和分母，除到分子和分母的公因数只有1为止。一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。分数比较大小的方法：分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。分子相同的两个分数，分母小的分数反而比较大。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分的方法：通分时要用原分母的公倍数（最好是最小公倍数）做它们的公分母比较合适，把每个分数化成用这个公倍数（最小公倍数）作分母的分数。五、分数和小数的互化小数化成分数的方法：因为小数表示的是十分之几，百分之几，千分之几……的数，所以可以直接写成分母是10、100、1000……的分数。原来是几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约成最简分数。分数化成小数的方法：※（1）当分母是10，10，1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看1后面有几个0，就从分子的右边起向左数出几位，点上小数点，如果位数不够时，用“0”补足。※（2）分母不是10，100，1000……的分数化成小数，根据分数与除法的关系，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。如果没有特殊要求，一般保留两位小数。常用分数和小数：21=0.541=0.2543=0.7551=0.252=0.453=0.654=0.881=0.12583=0.37585=0.62587=0.875201=0.05251=0.04。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。如果分母中除了2和5以外，还含其他的质因数就不能够化成有限小数。