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提分微课(五)将军饮马问题将军饮马问题解决的是线段和差最值问题,解决的方法是通过轴对称,化折为直,把两条线段的和转化为一条线段的长,利用两点之间线段最短的性质解决问题.常见的几种类型如下:类型一一定直线,同侧两定点如图W5-1,点A,B是直线l外同侧两点,在直线l上求作一点P,使AP+BP最小.解决方法:作点A关于直线l的对称点A'.连接A'B,交直线l于点P,则点P使AP+BP最小.图W5-1图W5-2[答案]3[解析]如图,作M关于AB的对称点N,则NP=MP,PM+PQ=NP+PQ,如图,当NQ⊥AC时,PM+PQ取最小值.易得∠N=∠BAC=30°,MD=12AM=1,所以MN=2,NQ=MN·cosN=2×32=3,故答案为3.1.如图W5-2,∠BAC=30°,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上一动点,PQ⊥AC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为.2.如图W5-3,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=30°,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是.图W5-3[答案]23[解析]作点D关于直线AC的对称点D',当D',P,E三点共线,且D'E⊥AD时,PE+PD最小,如图,易得CD=433,∠ADD'=60°,DD'=4,所以D'E=23.3.如图W5-4,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为.图W5-4[答案]3[解析]如图,作点P关于BD的对称点P',则PK+QK=P'K+QK.当P',K,Q三点共线,且P'Q⊥CD时,PK+QK取得最小值.过点A作AE⊥CD于点E.∵在菱形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=120°,∴∠ADC=60°,∴AE=AD·sin∠ADC=2×32=3.∵P'Q⊥CD,AE⊥CD,AB∥CD,∴P'Q=AE=3.∴PK+QK的最小值为3.图W5-54.如图W5-5,☉O的半径为1,点A是半圆(𝑀𝐴𝑁)上的一个三等分点,点B是𝐴𝑁的中点,P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为.[答案]2[解析]如图,作点A关于MN的对称点A',连接A'B.易得PA+PB的最小值为A'B的长,连接OA',AA'.由B是𝐴𝑁的中点,可得∠BON=30°,∠A'OB=90°,在等腰直角三角形A'OB中,OA'=OB=1,所以A'B=2,故答案为2.5.[2018·遵义]如图W5-6,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为.图W5-6[答案]322[解析]因为点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,所以DE,DF是△PBC的中位线,DE=12PC,DF=12PB,所以DE+DF=12(PC+PB),故本题可转化为求PC+PB的最小值.因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连接AC,PC+PB的最小值等于AC的长.由抛物线的解析式可得A(-3,0),C(0,-3),所以AC=32,故DE+DF的最小值=12AC=322.6.如图W5-7,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD,则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为.图W5-7[答案]42[解析]设△PAB中AB边上的高是h.∵S△PAB=13S矩形ABCD,∴12AB·h=13AB·AD,∴h=23AD=2,∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的线段l上,如图,作点A关于直线l的对称点A',连接AA',BA',则BA'即为所求的最短距离.在Rt△ABA'中,AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'=𝐴𝐵2+𝐴𝐴'2=42+42=42,即PA+PB的最小值为42.类型二一定点,两定直线图W5-8如图W5-8,P是∠AOB内一点,分别在OA,OB上求作点Q,R,使得PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.解决方法:分别作点P关于直线OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″,与OA,OB的交点即为所求点Q,R,此时PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.7.如图W5-9,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°图W5-9[答案]B[解析]如图,分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD,OC,OD,CD与OA,OB的交点即为所求点M,N.所以OC=OP=OD,∠AOB=12∠COD.因为△PMN周长的最小值是5cm,所以CD=5cm,所以△OCD是等边三角形,∠COD=60°,所以∠AOB=30°.故选B.8.如图W5-10,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°图W5-10[答案]D[解析]分别作A关于BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则A'A″的长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=∠AFE,所以∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A″=2(∠AA'E+∠A″)=2∠HAA'=100°,所以∠EAF=180°-100°=80°.故选D.图W5-119.如图W5-11,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,试求作周长最小的△DEF.解:如图,将D视为定点,分别作出点D关于AC,BC的对称点D',D″,连接D'D″交AC,BC于点E,F.此时△DEF的周长等于D'D″长.无论点D的位置如何变化,点C对线段D'D″的张角不变,即∠D'CD″=2∠ACB,因此为使D'D″最小,只需CD'=CD″=CD的值最小即可,显然当CD⊥AB时,CD最小,从而△DEF的周长最小.类型三两定点,两直线图W5-12如图W5-12,P,Q是∠AOB内两定点,分别在边OA,OB上寻找点M,N,使得四边形PQMN的周长最小.解决方法:分别作P关于直线OB的对称点P',Q关于OA的对称点Q',连接P'Q',与OA,OB的交点即为所求点M,N,使得四边形PQMN的周长最小.10.如图W5-13,四边形OMCN是矩形台球桌面,有黑白两球分别位于B,A两点的位置上,试问怎样撞击白球,使白球依次碰撞球台边OM,ON后,反弹击中黑球?图W5-13解:作法:(1)作点A关于OM的对称点A',点B关于ON的对称点B';(2)连接A'B',交OM于P,交ON于Q.则沿AP方向撞击白球即可类型四线段差的绝对值最大(1)如图W5-14①,A,B两点在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最大.解决方法:连接AB并延长交直线l于点P,点P即为所求.(2)如图W5-14②,A,B两点在直线l的异侧,在直线l上找一点P,使|PA-PB|最大.解决方法:作其中一点关于直线l的对称点,转化为点在直线同侧的线段差最大问题.图W5-1411.如图W5-15,A,B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AM=4,点B到直线l的距离BN=1,且MN=4,P为直线l上的动点,则|PA-PB|的最大值为.图W5-15[答案]5[解析]如图,作点B关于直线l的对称点B',连接AB'并延长交直线l于P.∴B'N=BN=1,作B'D⊥AM于D,利用勾股定理求出AB'=5,∴|PA-PB|的最大值为5.12.已知:如图W5-16,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连接MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.(1)直接写出点D的坐标.(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.图W5-16解:(1)点D的坐标为-32,212.已知:如图W5-16,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC=3,BC=2,取AB的中点M,连接MC,把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的抛物线上移动,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得|TO-TB|的值最大?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.图W5-16(2)存在.根据点D的坐标为-32,2,点B的坐标为(3,2),以及图象过(0,0),得出二次函数解析式为y=49x2-23x=49x-342-14.因为点T在抛物线的对称轴上,点B和点D关于对称轴对称,所以TD=TB,所以求|TO-TB|的最大值即求|TO-TD|的最大值.由图可知,只有T,O,D三点共线时,|TO-TD|才能取得最大值,最大值为OD的长.设直线DT的解析式为y=kx+b,将D-32,2,O(0,0)分别代入y=kx+b中,解得k=-43,b=0.在直线y=-43x中,代入x=34,得y=-1,所以点T的坐标为34,-1.