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提分微课(三)四大常考相似模型相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种演变和联系.类型一8字型有一组对顶角,此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等.根据对应关系不同,可将这类型分为下面两种常见图形:图W3-1①②8字型倒8字型(AB∥CD,则△OBA∽△OCD)(AB,CD不平行,∠A=∠C或∠B=∠D,则△OAB∽△OCD)1.[2019·江西联考]如图W3-2,△OAB∽△OCD,OA∶OC=3∶2,∠A=α,∠C=β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()A.𝑂𝐵𝐶𝐷=32B.𝛼𝛽=32C.𝑆1𝑆2=32D.𝐶1𝐶2=32图W3-2[答案]D[解析]A选项,OB和CD不是对应边,因此它们的比值不一定等于相似比,所以A选项不一定成立;B选项,∠A和∠C是对应角,因此α=β,所以B选项不成立;C选项,因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以C选项不成立;D选项,因为相似三角形的周长比等于相似比,所以D选项一定成立.故选D.2.[2019·镇江模拟]如图W3-3,D,E分别为△ABC的边BA,CA延长线上的点,且DE∥BC.如果𝐷𝐸𝐵𝐶=35,CE=16,那么AE的长为.图W3-3[答案]6[解析]∵DE∥BC,∴𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐸𝐴𝐴𝐶.∵𝐷𝐸𝐵𝐶=35,CE=16,∴𝐴𝐸16-𝐴𝐸=35,解得AE=6.3.[2019·东城一模]如图W3-4,在▱ABCD中,点E在DA的延长线上,且AE=13AD,连接CE交BD于点F,则𝐸𝐹𝐹𝐶的值是.图W3-4[答案]43[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.设AD=3a,则AE=a.∵DE∥BC,∴△EDF∽△CBF,∴𝐸𝐹𝐹𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶=4𝑎3𝑎=43.故答案为43.类型二A字型图W3-5有一个公共角,外加另外一组对应角相等.根据对应关系不同,可将这类型分为下面两种常见图形:①②A字型倒A字型(DE∥BC,则△ADE∽△ABC)(DE,BC不平行,∠B=∠AED或∠C=∠ADE,则△AED∽△ABC)4.[2019·镇江南徐中学模拟]如图W3-6,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE∥BC.若AD=2,AB=3,DE=4,则BC的长为.图W3-6[答案]6[解析]∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐷,即𝐵𝐶4=32,∴BC=6.故答案为:6.5.如图W3-7,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,且AB=9,AC=6,AD=3.若使△ADE∽△ABC,则AE的长为.图W3-72类型三母子型图W3-8有一个公共角,且公共角的一边为公共边.需要从已知条件、隐含条件中证明另外一组角相等.常见的图形如图W3-8①:∠ACD=∠B,∠ADC=∠ACB,本图是最一般的母子型.如图W3-8②,∠ACB=90°,CD⊥AB,图中的三个直角三角形都相似,这个图形也很常见.①②(∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB,△ADC∽△ACB∽△CDB则△ACD∽△ABC)[答案]C6.如图W3-9,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为()A.1B.2C.3D.4图W3-9[解析]∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴𝑆△𝐴𝐶𝐷𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐶2=14.∵S△ACD=1,∴S△ABC=4,∴S△BCD=S△ABC-S△ACD=3.7.如图W3-10,已知△ABC中,P是AC上一点,则下列条件中不能判定△ABP∽△ACB的是()A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.𝐵𝐴𝐵𝑃=𝐶𝑃𝐶𝐵D.𝐴𝐵𝐴𝑃=𝐴𝐶𝐴𝐵图W3-10C8.如图W3-11,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(1)求抛物线的表达式;(2)已知点P在x轴上(点P不与点O重合),连接CP,若△AOC与△ACP相似,求点P的坐标;(3)已知x轴上一动点Q(m,0),连接BQ,若△ABQ与△AOC相似,直接写出m的值.图W3-11解:(1)由题意知,当x=0时,y=kx+1=1,∴C(0,1).∵抛物线y=ax2-(6a-2)x+b经过C(0,1),B(4,3),∴𝑏=1,3=𝑎×42-(6𝑎-2)×4+𝑏,解得𝑎=34,𝑏=1,∴抛物线表达式为y=34x2-52x+1.8.如图W3-11,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(2)已知点P在x轴上(点P不与点O重合),连接CP,若△AOC与△ACP相似,求点P的坐标;图W3-11(2)∵直线AC经过点B(4,3),∴将点B的坐标代入直线解析式得3=4k+1,解得k=12,∴直线AC的解析式为y=12x+1.令y=0,解得x=-2,∴点A的坐标为(-2,0),∴AO=2,CO=1,∴AC=𝐴𝑂2+𝐶𝑂2=22+12=5.设点P(p,0),则PA=p+2,∵∠OAC=∠CAP,∴要使△AOC与△ACP相似,则需①𝐴𝐶𝐴𝑂=𝐴𝐶𝐴𝑃,此时点P与点O重合,不符合题意;②𝐴𝐶𝐴𝑂=𝐴𝑃𝐴𝐶,即52=𝑝+25,解得p=12,∴若△AOC与△ACP相似,则点P的坐标为12,0.(3)m的值为4或112.8.如图W3-11,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2-(6a-2)x+b与直线AC交于另一点B(4,3).(3)已知x轴上一动点Q(m,0),连接BQ,若△ABQ与△AOC相似,直接写出m的值.图W3-11类型四一线三等角型基本图形1三个相等的角的顶点在同一条直线上,称一线三等角模型,常见于等腰三角形或等边三角形的背景中.如图W3-12所示:图W3-12解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠C.∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,∴𝐵𝑃𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐶𝑃,∴AB·CD=CP·BP.∵AB=AC,∴AC·CD=CP·BP.9.如图W3-13,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.(1)求证:AC·CD=CP·BP;(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.图W3-13(2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP.∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C.∵∠B=∠B,∴△BAP∽△BCA,∴𝐵𝐴𝐵𝐶=𝐵𝑃𝐵𝐴.∵AB=10,BC=12,∴1012=𝐵𝑃10,∴BP=253.9.如图W3-13,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.图W3-13基本图形2当在一线三等角模型中,三个等角为90°时,模型会变得更加特殊,这个时候我们也会称之为K字型,如图W3-14.图W3-1410.如图W3-15,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.求证:△EBF∽△FCG.图W3-15证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠C=90°.∵∠EFG=90°,∴∠BFE+∠CFG=90°,而∠BFE+∠BEF=90°,∴∠BEF=∠CFG,∴△EBF∽△FCG.