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提分微课（一）中点问题线段的中点把线段分成相等的两部分,图形中出现中点,可以引起我们丰富的联想:首先,它和三角形的中线紧密联系,若中点是在直角三角形的斜边上,又可以引用结论“斜边上的中线等于斜边的一半”;其次,中点又与三角形的中位线息息相关;另外,中点还可以与中心对称相联系.解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线,如作倍长中线、作直角三角形斜边上的中线、构造三角形中位线、构造中心对称图形等.类型一倍长中线法图W1-11.如图W1-1,在△ABC中,AB=12,AC=8,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是.[答案]2AD10[解析]延长AD到E,使DE=AD,连接BE,如图.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,在△ADC和△EDB中,𝐴𝐷=𝐷𝐸,∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐵,𝐷𝐶=𝐵𝐷,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=BE=8.在△ABE中,AB-BEAEAB+BE,∴12-82AD12+8,∴2AD10.2.如图W1-2,△ABC中,∠ACB=90°,CD是中线,求证:AB=2CD.图W1-2证明:如图,延长CD到E,使DE=CD,连接AE,BE.∵AD=BD,∴四边形ACBE是平行四边形.∵∠ACB=90°,∴平行四边形ACBE是矩形,∴AB=CE,∴AB=2CD.3.如图W1-3,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于点F,AF=EF,求证:AC=BE.图W1-3证明:延长AD至G,使DG=AD,连接BG,在△BDG和△CDA中,∵𝐵𝐷=𝐶𝐷,∠𝐵𝐷𝐺=∠𝐶𝐷𝐴,𝐷𝐺=𝐷𝐴,∴△BDG≌△CDA(SAS),∴BG=AC,∠CAD=∠G.又∵AF=EF,∴∠CAD=∠AEF.又∠BEG=∠AEF,∴∠CAD=∠BEG,∴∠G=∠BEG,∴BG=BE,∴AC=BE.类型二构造中位线法4.[2018·苏州]如图W1-4,在△ABC中,延长BC至D,使得CD=12BC,过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD,连接DF.若AB=8,则DF的长为()A.3B.4C.23D.32图W1-4[答案]B[解析]取BC的中点G,连接EG,如图.∵E是AC的中点,∴EG是△ABC的中位线,∴EG=12AB=12×8=4.设CD=x,则EF=BC=2x,∴BG=CG=x,∴EF=2x=DG.∵EF∥CD,∴四边形EGDF是平行四边形,∴DF=EG=4.故选B.5.[2017·株洲]如图W1-5,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为()A.一定不是平行四边形B.一定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它是矩形图W1-5[答案]C[解析]连接AC,BD,如图.∵点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,∴EF=HG=12AC,EH=FG=12BD,∴四边形EFGH是平行四边形,∴四边形EFGH一定是中心对称图形,当AC⊥BD时,∠EFG=90°,此时四边形EFGH是矩形;当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH可能是轴对称图形.故选C.6.[2018·天津]如图W1-6,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为.图W1-6[答案]192[解析]连接DE,如图.∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE∥AC,2DE=AC=4,EC=2.∵EF⊥AC,∴DE⊥EF.∴△DEG为直角三角形.在Rt△EFC中,EC=2,∠C=60°,∴EF=3.∵G为EF的中点,∴EG=32.在Rt△DEG中,DE=2,EG=32,由勾股定理得,DG=𝐷𝐸2+𝐸𝐺2=192.故答案为192.7.[2017·天津]如图W1-7,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为.图W1-7[答案]5[解析]如图,延长GE交AB于点N,过点P作PM⊥GN于M.由正方形的性质可知AN=AB-BN=AB-EF=2,NE=GN-GE=BC-FC=2.根据点P是AE的中点及PM∥AN,可得PM为△ANE的中位线,所以ME=12NE=1,PM=12AN=1,因此MG=2.根据勾股定理可得PG=𝑃𝑀2+𝑀𝐺2=5.类型三构造斜边中线法构造直角三角形斜边上的中线:当题设中出现或隐含着直角三角形斜边上的中点的条件时,可通过作辅助线构造斜边上的中线,利用直角三角形的性质探求解题方法.图W1-88.[2018·南充]如图W1-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD的中点,若BC=2,则EF的长度为()A.12B.1C.32D.3[答案]B[解析]∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=BD=AD.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,∴△CBD为等边三角形,∴CD=BC=2.∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF=12CD=1.故选B.9.[2018·荆门]如图W1-9,等腰直角三角形ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()A.24πB.22πC.1D.2图W1-9[答案]C[解析]如图,连接OM,CM,OC.∵OQ⊥OP,且M是PQ的中点,∴OM=12PQ.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM=12PQ,∴OM=CM,∴△OCM是等腰三角形,∴M在OC的垂直平分线上.∵当P在A点时,点M为AC的中点;当P在C点时,点M为BC的中点,∴点M所经过的路线长为12AB=1.故选C.10.[2019·淮安]如图W1-10,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将△CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tan∠HAP=.图W1-10[答案]43[解析]如图,连接PB交CH于点O.∵H是AB的中点,∴HB=12AB=32.∵将△CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,∴HP=HB,PB=2BO=2×𝐻𝐵·𝐵𝐶𝐻𝐶=2×32×2(32)2+22=2×352=125.∵HP=HB=12AB,∴△APB是直角三角形,∴tan∠HAP=𝑃𝐵𝑃𝐴=𝑃𝐵𝐴𝐵2-𝑃𝐵2=12532-(125)2=12595=43.11.[2019·苏州模拟]如图W1-11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合,直角三角板绕着点P旋转,两条直角边分别交AB边于M,N,则MN的最小值是.图W1-11[答案]25[解析]取MN的中点D,连接PD,如图.∵∠MPN=90°,∴MN=2PD,∴当PD⊥MN时,PD的值最小,此时MN的值最小,如图.∵∠A=∠A,∠ADP=∠ACB=90°,∴△APD∽△ABC,∴𝑃𝐷𝐵𝐶=𝐴𝑃𝐴𝐵,即𝑃𝐷5=555,∴PD=5,∴MN=2PD=25.故答案为25.12.[2017·福建改编]如图W1-12,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形,AP=2,则CF=.图W1-12[答案]324[解析]如图,连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC.∵四边形ABCD和四边形PEFD是矩形,∴∠ADC=∠PDF=90°,∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF,∴∠ADP=∠CDF.∵∠BCD=90°,OE=OD,∴OC=12ED.在矩形PEFD中,PF=DE,∴OC=12PF.∵OP=OF=12PF,∴OC=OP=OF,∴∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC.∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°,∴2∠OCP+2∠OCF=180°,∴∠PCF=90°,∴∠PCD+∠FCD=90°.在Rt△ADC中,∠PCD+∠PAD=90°,∴∠PAD=∠FCD,∴△ADP∽△CDF,∴𝐶𝐹𝐴𝑃=𝐶𝐷𝐴𝐷=34.∵AP=2,∴CF=324.类型四构造“三线合一”法图W1-1313.[2018·武汉]如图W1-13,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长,则DE的长是.[答案]32[解析]延长BC至M,使CM=CA,连接AM,过点C作CN⊥AM于N,如图.∵DE平分△ABC的周长,AD=DB,∴ME=EB,∴DE=12AM,DE∥AM.∵∠ACB=60°,∴∠ACM=120°.∵CM=CA,∴∠ACN=60°,AN=MN,∴AN=AC·sin∠ACN=32,∴AM=3,∴DE=32.故答案为:32.14.如图W1-14,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D,E分别是AB,AC边上的点,且BD=CE.(1)求证:MD=ME;(2)若D为AB的中点,并且AB=8,求ME的长.图W1-14解:(1)证明:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠DBM=∠ECM.∵M是BC的中点,∴BM=CM,在△BDM和△CEM中,𝐵𝐷=𝐶𝐸,∠𝐷𝐵𝑀=∠𝐸𝐶𝑀,𝐵𝑀=𝐶𝑀,∴△BDM≌△CEM(SAS),∴MD=ME.14.如图W1-14,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D,E分别是AB,AC边上的点,且BD=CE.(2)若D为AB的中点,并且AB=8,求ME的长.图W1-14(2)如图,连接AM.∵在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,∴AM⊥BC,∴△ABM是直角三角形.∵D为AB的中点,∴DM=12AB=12×8=4.∴ME=4.15.如图W1-15,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF.(1)求证:DE=DF;(2)求证:BE2+CF2=EF2;(3)若BE=6,CF=8,求△DEF的面积(直接写结果).图W1-15解:(1)证明:连接AD,如图.∵等腰直角三角形ABC,∴∠C=∠B=45°.∵D为BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B,∠ADC=90°,∴∠ADF+∠FDC=90°.∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,∴∠FDC+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠ADF,在△BDE和△ADF中,∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐹,𝐵𝐷=𝐴𝐷,∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐹,∴△BDE≌△ADF,∴DE=DF.15.如图W1-15,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF.(2)求证:BE2+CF2=EF2;图W1-15(2)证明:∵△BDE≌△ADF,∴BE=AF.∵AB=AC,∴CF=AE,∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2.15.如图W1-15,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF.(3)若BE=6,CF=8,求△DEF的面积(直接写结果).图W1-15解：(3)25[解析]∵EF2=BE2+CF2=100,∴EF=10.根据勾股定理得DE=DF=52,∴△DEF的面积是12DE·DF=12×52×52=25.