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第23课时菱形、正方形【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测菱形的性质与判定2019、22、9分解答题★★★★★2018、22、9分解答题2017、6、3分选择题2016、18(2)、4分解答题2015、20(2)、5分解答题正方形的性质与判定2018、12、3分填空题★★★★2017、13(2)、3分2016、17(2)、4分解答题★★★2015、16、6分基础知识巩固高频考向探究定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质(1)边:四条边都①,对边平行;(2)角:对角相等;(3)对角线:对角线②,并且每一条对角线平分③,(4)对称性:既是④对称图形,又是⑤对称图形,有⑥条对称轴考点一菱形考点聚焦相等互相垂直且平分一组对角轴中心2基础知识巩固高频考向探究判定(1)有一组邻边⑦的平行四边形是菱形(定义);(2)四条边都⑧的四边形是菱形;(3)对角线⑨的平行四边形是菱形周长、面积的计算(1)周长C=4a(a为菱形的边长);(2)面积S=底×高=12mn(m,n分别为两条对角线的长)对于对角线互相垂直的四边形,都适用于菱形的面积公式S=12mn(m,n分别为两条对角线的长)(续表)相等相等互相垂直基础知识巩固高频考向探究考点二正方形定义有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形性质(1)边:四条边都⑩,对边平行;(2)角:四个角都是⑪;(3)对角线:对角线互相垂直平分且⑫,每一条对角线都平分⑬(对角线与边的夹角为45°);(4)对称性:既是⑭对称图形又是⑮对称图形,有⑯条对称轴相等直角相等一组对角中心轴4基础知识巩固高频考向探究判定(1)有一个角是⑰,一组邻边⑱的平行四边形是正方形(定义);(2)一组邻边⑲的矩形是正方形;(3)一个角是⑳的菱形是正方形;(4)对角线㉑的平行四边形是正方形;(5)对角线㉒的四边形是正方形周长、面积的计算(1)周长C=4a(a为正方形的边长);(2)面积S=a2(a为正方形的边长)=12l2(l为对角线的长)(续表)直角相等相等直角相等且互相垂直相等且互相垂直平分基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系:图23-1基础知识巩固高频考向探究考点三中点四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.中点四边形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理.常见结论如下:原四边形的形状中点四边形的形状任意四边形㉓__________________________平行四边形平行四边形矩形菱形菱形㉔__________________________正方形㉕__________________________平行四边形矩形正方形基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2019·上饶铅山一模]已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为菱形的是()A.AC⊥BDB.∠ABD=∠ADBC.AB=CDD.AB=BCC基础知识巩固高频考向探究2.[2019·河北]如图23-2,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=()A.30°B.25°C.20°D.15°D图23-2基础知识巩固高频考向探究3.如图23-3,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,则图中与∠AEB相等的角的个数是()A.1B.2C.3D.4图23-3[答案]C[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,AB∥CD,AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,∴∠DAE=∠AEB,∴∠BFC=∠ABF.在△ABE和△BCF中,𝐴𝐵=𝐵𝐶,∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵𝐶𝐹𝐵𝐸=𝐶𝐹,,∴△ABE≌△BCF(SAS),∴∠BFC=∠AEB,故图中与∠AEB相等的角的个数是3.故选C.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·苏州]如图23-4,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O',当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为()A.6B.8C.10D.12图23-4[答案]C[解析]由菱形的性质得AO=OC=CO'=2,BO=OD=B'O'=8,∠AOB=∠AO'B'=90°,∴△AO'B'为直角三角形,∴AB'=𝐴𝑂'2+𝐵'𝑂'2=62+82=10.故选C.基础知识巩固高频考向探究5.[2019·十堰]如图23-5,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC的中点,若OE=3,则菱形的周长为.图23-524基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】运用菱形或正方形的性质时,由于对性质理解不清造成解题错误;菱形、正方形的判定混淆;不能合理运用菱形、正方形的性质解决有关证明或计算问题.6.满足下列条件的四边形不是正方形的是()A.对角线互相垂直的矩形B.对角线相等的菱形C.对角线互相垂直且相等的四边形D.对角线互相垂直且相等的平行四边形基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]A.对角线互相垂直的矩形是正方形,故正确;B.对角线相等的菱形是正方形,故正确;C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故错误;D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,故正确.基础知识巩固高频考向探究7.[2019·雅安]如图23-6,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形图23-6基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]∵点E,F,G,H分别是任意四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,∴EF=GH=12AB,EH=FG=12CD,∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形.故选C.基础知识巩固高频考向探究考向一菱形的性质及判定图23-7例1[2019·宁波]如图23-7,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:在矩形EFGH中,EH=FG,EH∥FG,∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,∴∠BFG=∠DHE,在菱形ABCD中,AD∥BC,∴∠GBF=∠EDH,∴△BGF≌△DEH(AAS),∴BG=DE.基础知识巩固高频考向探究(2)连接EG.在菱形ABCD中,AD∥BC,AD=BC.∵E为AD的中点,∴AE=ED.∵BG=DE,∴AE=BG.又∵AE∥BG,∴四边形ABGE是平行四边形,∴AB=EG.在矩形EFGH中,EG=FH=2,∴AB=2,∴菱形ABCD的周长为8.图23-7例1[2019·宁波]如图23-7,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图23-81.[2019·江西6题]图23-8是由10根完全相同的小棒拼接而成,请你再添2根与前面完全相同的小棒,拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有()A.3种B.4种C.5种D.6种[答案]D[解析]具体拼法有6种,如图.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·江西22题]在图23-9①,②,③中,已知▱ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.(1)如图23-9①,当点E与点B重合时,∠CEF=°.(2)如图23-9②,连接AF.①填空:∠FAD∠EAB(填“”“”或“=”);②求证:点F在∠ABC的平分线上.(3)如图23-9③,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求𝐵𝐶𝐴𝐵的值.图23-9基础知识巩固高频考向探究解:(1)当点E与点B重合时,∵四边形AEFG是菱形,∴∠ABF=∠AEF=180°-∠EAG=180°-120°=60°.∵∠ABC=120°,∴∠CEF=∠ABC-∠ABF=120°-60°=60°.故答案为60.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·江西22题]在图23-9①,②,③中,已知▱ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.(2)如图23-9②,连接AF.①填空:∠FAD∠EAB(填“”“”或“=”);图23-9基础知识巩固高频考向探究(2)①∵▱ABCD中,∠ABC=120°,∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-120°=60°.∵菱形AEFG中,∠EAG=120°,∴∠EAF=12∠EAG=12×120°=60°.∴∠EAF-∠DAE=∠BAD-∠DAE,∴∠FAD=∠EAB.故答案为=.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·江西22题]在图23-9①,②,③中,已知▱ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.(2)如图23-9②,连接AF.②求证:点F在∠ABC的平分线上.图23-9基础知识巩固高频考向探究②证明:如图,连接BF,以BE为边向下作等边三角形BEP,则BE=PE,∠BEP=∠P=∠AEF=60°,AE=FE,∴∠AEP=∠BEF,∴△BEF≌△PEA,∴∠EBF=∠P=60°.又∵∠ABC=120°,∴∠EBF=12∠ABC,∴点F在∠ABC的平分线上.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·江西22题]在图23-9①,②,③中,已知▱ABCD,∠ABC=120°,点E为线段BC上的动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且∠EAG=120°.(3)如图23-9③,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时,求𝐵𝐶𝐴𝐵的值.图23-9基础知识巩固高频考向探究(3)∵四边形AEGH是平行四边形,四边形AEFG是菱形,∴GH=AE=AG=FE,AE∥GH,GE∥AH.∵∠EAG=120°,∴∠H=∠HAG=∠AGE=∠FGE=∠AEG=∠FEG=∠BAE=∠DAE=∠ADH=∠AEB=30°.∵HG=GF=33AH,AH=33HD,∴HG=GF=FD=13HD,∴DF=FG=GH=AE,AB=BE.∵AE∥GH,∴△ABE∽△HAD,∴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐵𝐸=𝐷𝐻𝐴𝐸=3𝐴𝐸𝐴𝐸=3.基础知识巩固高频考向探究3.[2015·江西20题](1)如图23-10①,▱ABCD纸片中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图23-10②,在(1)中的四边形纸片AEE'D中,在EE'上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE'F'的位置,拼成四边形AFF'D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图23-10基础知识巩固高频考向探究解:(1)C[解析]由平移知AE∥DE',AE=DE',∴四边形AEE'D是平行四边形.又∵AE⊥BC,∴∠AEE'=90°,∴四边形AEE'D是矩形.基础知识巩固高频考向探究3.[2015·江西20题](2)如图23-10②,在(1)中的四边形纸片AEE'D中,在EE'上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE'F'的位置,拼成四边形AFF'D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图23-10基础知识巩固高频考向探究(2)①证明:∵AF∥DF',AF=DF',∴四边形AFF'D是平行四边形.∵S▱ABCD=15,AD=5,A