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第22课时矩形【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测矩形的性质与判定2019、13(2)、3分解答题★★★★★2017、6、3分选择题2017、12、3分填空题2016、12、3分填空题2015、20(1)、3分解答题基础知识巩固高频考向探究定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质(1)边:对边平行,对边相等;(2)角:四个角都是①;(3)对角线:对角线②;(4)对称性:既是③对称图形,又是④对称图形,有⑤条对称轴考点矩形考点聚焦直角相等且互相平分中心轴2基础知识巩固高频考向探究判定(1)有一个角是⑥的平行四边形是矩形(定义);(2)有⑦是直角的四边形是矩形;(3)对角线⑧的平行四边形是矩形周长、面积C=2(a+b),S=ab(a,b分别为矩形的长和宽)拓展矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形(续表)直角三个角相等基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.[2019·无锡]下列结论,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直C基础知识巩固高频考向探究2.下列命题错误的是()A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形B基础知识巩固高频考向探究3.[2019·九江二模]如图22-1,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点A'处,点B落在点B'处,若∠2=40°,则图中∠1的度数为()A.115°B.120°C.130°D.140°图22-1[答案]A[解析]由折叠知∠BFE=∠EFB',∠B'=∠B=90°.∵∠2=40°,∴∠CFB'=50°,∴∠1+∠EFB'-∠CFB'=180°,即∠1+∠1-50°=180°,解得∠1=115°.故选A.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·江西样卷五]如图22-2所示为一种古代界尺,主要用于界画绘制时作平行线.该界尺由四根等宽的木条连接而成,设外框为矩形ABCD,内框为矩形EFGH.测得EF=15cm,AB=21cm,AD=40cm,则FG的长为cm.图22-234基础知识巩固高频考向探究5.如图22-3,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,则矩形的对角线AC的长是.图22-34基础知识巩固高频考向探究6.[2019·江西样卷七]如图22-4,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点.若AD=8cm,AC=10cm,则△AEF的周长为cm.图22-49基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】运用矩形的性质时,由于对性质理解不清造成解题错误;不能正确画出图形导致解答不全面.7.如图22-5,过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,交BC边于点E,交AD边于点F,分别连接AE,CF,若AB=23,∠DCF=30°,则EF的长为()A.4B.6C.3D.23图22-5基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]易知∠ACB=∠DAC,AO=CO,∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴OF=OE,∴四边形AECF是菱形.∵∠DCF=30°,∴∠ECF=60°,∴△CEF是等边三角形,∴EF=CF,∵CD=AB=23,∠DCF=30°,∴CF=𝐶𝐷cos30°=4,∴EF=4.基础知识巩固高频考向探究8.已知矩形ABCD的对角线相交于点O,AE平分∠BAD交矩形的边于点E,若∠CAE=10°,则∠AOB的度数为.基础知识巩固高频考向探究[答案]70°或110°[解析]根据题意画出如下示意图:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OB=OD.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°.∵∠CAE=10°,由图①得,∠BAO=∠BAE+∠EAC=45°+10°=55°.又∵OA=OB,∴∠BAO=∠OBA=55°,∴∠AOB=180°-55°-55°=70°.由图②得,∠DAO=∠DAE+∠EAC=45°+10°=55°.又∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=55°,∴∠AOB=∠OAD+∠ODA=110°.综上所述:∠AOB的度数为70°或110°.基础知识巩固高频考向探究考向一矩形的性质及判定例1如图22-6,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F,连接BD,EF交于点O.(1)若∠DEB=90°,求证:四边形DFBE是矩形;(2)若AB=BD,求证:四边形DFBE是矩形;(3)在(1)的结论下,若tanA=125,DC=26,.DG为△ADB的高线,求DG的长度.图22-6基础知识巩固高频考向探究解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC∥AB,∴∠CDB=∠ABD.∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,∴∠FDB=∠EBD,∴DF∥BE.又AD∥BC,∴四边形DFBE是平行四边形.又∵∠DEB=90°,∴四边形DFBE是矩形.基础知识巩固高频考向探究例1如图22-6,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F,连接BD,EF交于点O.(2)若AB=BD,求证:四边形DFBE是矩形;图22-6(2)证明:由(1)可得四边形DFBE是平行四边形,∵BE平分∠ABD,且AB=BD,∴BE⊥AD,∴四边形DFBE是矩形.基础知识巩固高频考向探究例1如图22-6,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F,连接BD,EF交于点O.(3)在(1)的结论下,若tanA=125,DC=26,.DG为△ADB的高线,求DG的长度.图22-6基础知识巩固高频考向探究(3)∵BE平分∠ABD,∴∠DBE=∠ABE,在△DEB和△AEB中,∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐵=90°,𝐵𝐸=𝐵𝐸,∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐸,∴△DEB≌△AEB(ASA),∴BD=AB,DE=EA.∵tanA=125,AB=DC=26,在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2,∴AE2+125AE2=262,∴AE=10,BE=125AE=24,∴AD=2AE=20.∵BE·AD=AB·DG,∴DG=24×2026=24013.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】证明一个四边形为矩形可以直接证明三个角等于90°;或者先说明是平行四边形再说明有一个角是90°;或证明对角线相等且平分.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2013·江西10题]如图22-7,矩形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,CN,MN,若AB=22,BC=23,则图中阴影部分的面积为.图22-7基础知识巩固高频考向探究[答案]26[解析]∵E,F分别是AB,CD的中点,∴四边形EBFD是平行四边形.∵M,N分别是DE,BF的中点,∴三角形AEM的面积是三角形AED面积的一半,三角形BCN的面积是三角形BCF面积的一半,平行四边形DFNM的面积是平行四边形EBFD面积的一半,∴阴影部分的面积是矩形面积的一半,即为12×23×22=26.故答案为26.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·江西10题]如图22-8,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为.图22-8[答案]32[解析]∵AD=EF=DE=3,∠D=90°,∴AE2=AD2+DE2=18,∴AB=AE=18=32.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·江西13(2)题]如图22-9,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.图22-9证明:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC,BD互相平分.又∵OA=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·北京朝阳二模]如图22-10,在▱ABCD中,∠ABD=90°,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.(1)求证:四边形BECD是矩形;(2)连接DE交BC于点F,连接AF,若CE=2,∠DAB=30°,求AF的长.图22-10解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB.∵BE=AB,∴BE=CD.∴四边形BECD是平行四边形.∵∠ABD=90°,∴∠DBE=90°.∴▱BECD是矩形.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·北京朝阳二模]如图22-10,在▱ABCD中,∠ABD=90°,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.(2)连接DE交BC于点F,连接AF,若CE=2,∠DAB=30°,求AF的长.图22-10基础知识巩固高频考向探究(2)如图,取BE中点G,连接FG.由(1)可知,FB=FC=FE,∴FG=12CE=1,FG⊥BE.∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠CBE=∠DAB=30°.∴BG=3.∴AB=BE=23.∴AG=33.∴在Rt△AGF中,由勾股定理可得AF=27.基础知识巩固高频考向探究考向二矩形中的折叠问题图22-11例2[2019·河南]如图22-11,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=35a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上,则a的值为基础知识巩固高频考向探究[答案]53或53[解析]由折叠可得,AB=AB',∠B'=∠B=90°,BE=B'E.由题意可得,点B'的位置有以下两种情况:①当点B'落在矩形的边AD上时,则四边形ABEB'为正方形,所以BE=AB=1,则35a=1,所以a=53;②当点B'落在边CD上时,则由已知可得BE=EB'=35a,EC=25a,所以𝐸𝐶𝐸𝐵'=23.易得,△B'DA∽△ECB',所以𝐷𝐵'𝐴𝐵'=𝐸𝐶𝐸𝐵'=23,则DB'=23.在Rt△ADB'中,由勾股定理可得AD=53,则a=53.综上所述,a的值为53或53.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】矩形的折叠会出现一线三等角模型,可利用相似进行计算,角平分线遇到平行线会出现等腰三角形,对称点连线被对称轴垂直平分,利用等腰三角形、垂直平分线的性质可将线段转化;折叠一般会出现直角三角形,解题多会用到勾股定理.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·扬州]将一个矩形纸片折叠成如图22-12所示的图形,若∠ABC=26°,则∠ACD=.图22-12[答案]128°[解析]如图,由矩形折叠性质可知∠ACB=∠BCE=∠ABC=26°,则∠ACD=180°-26°-26°=128°..基础知识巩固高频考向探究图22-132.[2019·泰安]如图22-13,矩形ABCD中,AB=36,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是.基础知识巩固高频考向探究[答案]215[解析]连接CE,如图.∵点E是AD的中点,∴AE=ED=EG,∠EGC=∠D,∴△EGC≌△EDC,∴GC=AB=36.设AF=GF=x,则FB=36-x,在Rt△FBC中,FB2+BC2=FC2,即(36-x)2+122=(x+36)2,解得x=26,∴在Rt△AFE中,EF=𝐴𝐸2+𝐴𝐹2=215.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·杭州]如图22-14,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A'点,D点的对称点为D'点,若∠FPG=90°,△A'EP的面积为4,△D'PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于.图22-14基础知识巩固高频考向探究[答案]65+10[解析]∵A'E∥PF,∴∠A'EP=∠D'PH.