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单元思维导图第21课时多边形与平行四边形【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测多边形的概念及性质2016、10、3分填空题★平行四边形的性质与判定2017、6、3分选择题★★2015、20、3分解答题作图与应用2017、16(1)、3分解答题★基础知识巩固高频考向探究图形性质多边形内角和n边形的内角和为①外角和任意多边形的外角和为360°对角线(1)n边形共有②条对角线;(2)从一个顶点出发的对角线把n边形分成③个三角形不稳定性n边形(n3)具有不稳定性考点一多边形考点聚焦(n-2)·180°𝒏(𝒏-𝟑)𝟐(n-2)基础知识巩固高频考向探究图形性质正多边形边各条边④内角各个内角⑤,且正n边形的每个内角为⑥外角各个外角相等,且正n边形的每个外角为⑦对称性(1)正多边形都是⑧对称图形,其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形;(2)正n边形有⑨条对称轴(续表)相等相等(𝒏-𝟐)·𝟏𝟖𝟎°𝒏𝟑𝟔𝟎°𝒏轴n基础知识巩固高频考向探究定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质(1)平行四边形的对边⑩;(2)平行四边形的对角⑪,邻角⑫;(3)平行四边形的对角线互相⑬;(4)平行四边形是⑭对称图形考点二平行四边形平行且相等相等互补平分中心基础知识巩固高频考向探究(续表)判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别⑮的四边形是平行四边形;(3)一组对边⑯的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别⑰的四边形是平行四边形;(5)对角线互相⑱的四边形是平行四边形面积S=ah(a表示一条边长,h表示此边上的高)相等平行且相等相等平分基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】(1)平行四边形的两条对角线将平行四边形分成⑲的四个三角形;(2)同底等高的平行四边形的面积相等;(3)若一条直线过平行四边形的对角线的交点,则这条直线平分平行四边形的面积面积相等基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.如图21-1,足球图片中的黑色正五边形的内角和是()A.180°B.360°C.540°D.720°C图21-1基础知识巩固高频考向探究2.[2019·泸州]四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中,一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A.AD∥BCB.OA=OC,OB=ODC.AD∥BC,AB=DCD.AC⊥BDB基础知识巩固高频考向探究3.[2019·遂宁]如图21-2,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若▱ABCD的周长为28,则△ABE的周长为()A.28B.24C.21D.14图21-2[答案]D[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB=CD,AD=BC.∵平行四边形的周长为28,∴AB+AD=14.∵OE⊥BD,∴OE是线段BD的中垂线,∴BE=ED,∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14.故选D.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·株洲]如图21-3,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB=度.图21-3[答案]66[解析]∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠EAB=108°.∵AP是∠EAB的平分线,∴∠PAB=54°.∵∠ABP=60°,∴∠APB=180°-60°-54°=66°.故答案为:66.基础知识巩固高频考向探究5.[2019·徐州]如图21-4,A,B,C,D为一个外角为40°的正多边形的顶点.若O为正多边形的中心,则∠OAD=°.图21-4[答案]30[解析]∵正多边形的边数=360°40°=9,∴正多边形的中心角=360°9=40°,。∴∠AOD=3×40°=120°.∵OA=OD,∴∠OAD=180°-120°2=30°.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】平行四边形的性质模糊,不能准确、恰当地运用性质解决问题;理不清平行四边形判定的依据;忽视分类讨论导致漏解.6.如图21-5,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,现在请你添加一个适当的条件:,使得四边形AECF为平行四边形(图中不再添加字母和线).图21-5基础知识巩固高频考向探究[答案]BE=DF(答案不唯一)[解析]∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEF=∠EFC,∴AE∥FC,∴四边形AECF为平行四边形.基础知识巩固高频考向探究7.在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=25,则▱ABCD的周长等于.基础知识巩固高频考向探究[答案]12或20[解析]如图①所示:∵在▱ABCD中,BC边上的高AE为4,AB=5,AC=25,∴EC=𝐴𝐶2-𝐴𝐸2=2,AB=CD=5,BE=𝐴𝐵2-𝐴𝐸2=3,∴AD=BC=5,∴▱ABCD的周长等于20;如图②所示:∵在▱ABCD中,BC边上的高AE为4,AB=5,AC=25,∴EC=𝐴𝐶2-𝐴𝐸2=2,AB=CD=5,BE=𝐴𝐵2-𝐴𝐸2=3,∴BC=3-2=1,∴▱ABCD的周长等于1+1+5+5=12.综上,▱ABCD的周长等于12或20.基础知识巩固高频考向探究考向一与多边形有关的计算例1如图21-6,已知正五边形ABCDE,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G.(1)求∠F的度数;(2)写出图中的等腰三角形.图21-6解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠DCB=∠EDC=108°,DC=BC,∴∠CDB=36°.∵AF∥CD,∴∠F=∠CDB=36°.基础知识巩固高频考向探究例1如图21-6,已知正五边形ABCDE,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G.(2)写出图中的等腰三角形.图21-6(2)等腰三角形有△BCD,△DGF,△ABF,△AEG.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的内角和是.720°基础知识巩固高频考向探究2.[2019·枣庄]用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图21-7①所示),然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图21-7②所示的正五边形ABCDE.图中,∠BAC=°.[答案]36图21-7[解析]∵∠ABC=(5-2)×108°5=108°,△ABC是等腰三角形,∴∠BAC=∠BCA=180°-108°2=36°.基础知识巩固高频考向探究考向二平行四边形的性质及判定图21-8例2[2019·福建]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转一个角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E.(1)若点E恰好落在边AC上,如图21-8①,求∠ADE的大小;(2)若α=60°,F为AC的中点,如图21-8②,求证:四边形BEDF是平行四边形.基础知识巩固高频考向探究(1)解:根据旋转的性质得,∠DCE=∠ACB=30°,∠DEC=∠ABC=90°,CA=CD,∴∠ADC=∠DAC=180°-∠𝐷𝐶𝐸2=75°.∵∠EDC=90°-∠ACD=60°,∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=15°.基础知识巩固高频考向探究图21-8例2[2019·福建]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转一个角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E.(2)若α=60°,F为AC的中点,如图21-8②,求证:四边形BEDF是平行四边形.基础知识巩固高频考向探究(2)证明:延长BF交CE于点G.在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴AB=12AC.∵点F是边AC的中点,∴BF=FC=12AC=AB,∴∠FBC=∠ACB=30°.由旋转的性质得AB=DE,∠DEC=∠ABC=90°,∠BCE=∠ACD=60°,∴DE=BF.∵∠BGE=∠GBC+∠ECB=90°,∴∠DEC=∠BGE=90°,∴BF∥DE,∴四边形BFDE是平行四边形.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)平行四边形的性质都是通过连接对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的.常应用平行四边形的性质解决某些问题,如计算角的度数,线段的长度,证明两线平行、线段相等以及角相等.基础知识巩固高频考向探究(2)要证一个四边形是平行四边形,要注意方法的选择,即一组对边相等证另一组对边相等,证这组对边平行;一组对边平行证另一组对边平行,证这组对边相等;图中有对角线——证对角线互相平分.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2015·江西5题]如图21-9,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是()A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变图21-9基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]A选项,在扭动过程中,矩形两组对边的长度没有变化,则四边形ABCD仍是平行四边形,正确;B选项,向右扭动的过程中,BD的长度增大,正确;C选项,向右扭动的过程中,底边BC不变,但平行四边形边BC上的高在变化,则面积变化,错误;D选项,矩形在扭动过程中,两组对边的长度没有变化,故四边形ABCD的周长不变,正确.故选C.基础知识巩固高频考向探究2.[2016·江西10题]如图21-10,在平行四边形ABCD中,∠C=40°,过点D作AD的垂线,交AB于点E,交CB的延长线于点F,则∠BEF的度数为.[答案]50°[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠C=∠ABF.又∵∠C=40°,∴∠ABF=40°.∵EF⊥AD,AD∥BF,∴EF⊥BF,∴∠F=90°,∴∠BEF=90°-40°=50°.图21-10基础知识巩固高频考向探究3.[2019·南昌十校联考]如图21-11,在▱ABCD中,点E在边DC上,△DEF的面积与△BAF的面积之比为9∶16,则EC∶AB=.图21-11[答案]1∶4[解析]∵四边形ABCD为平行四边形,∴DE∥AB,DC=AB,∴△DEF∽△BAF.∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9∶16,∴𝐷𝐸𝐵𝐴=34.∴𝐶𝐸𝐴𝐵=14.基础知识巩固高频考向探究考向三与多边形及平行四边形有关的作图与应用例3[2019·赣北联考]如图21-12,在▱ABCD中,点E为边BC上的中点,请仅用无刻度的直尺,按要求画图(保留画图痕迹,不写画法).(1)在图21-12①中,作EF∥AB交AD于点F;(2)在图21-12②中,若AB=BC,作一矩形,使得其面积等于ABCD的一半.图21-12解:(1)如图①,F点就是所求作的点.(2)如图②,矩形EGFH就是所求作的四边形.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图21-13[2017·江西16题]如图21-13,已知正七边形ABCDEFG,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图.(1)在图21-13①中,画出一个以AB为边的平行四边形;(2)在图21-13②中,画出一个以AF为边的菱形.基础知识巩固高频考向探究解:(1)如图.四边形ABHF是平行四边形,四边形ABHI是平行四边形.基础知识巩固高频考向探究图21-13[2017·江西16题]如图21-13,已知正七边形ABCDEFG,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图.(2)在图21-13②中,画出一个以AF为边的菱形.基础知识巩固高频考向探究(2)如图.四边形AHDF是菱形,四边形ACHF是菱形.