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第20课时锐角三角函数及其应用【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测锐角三角函数★★解直角三角形2014、14、3分填空题★★解直角三角形的应用2019、20、8分解答题★★★★★2018、19、8分解答题2017、17、6分解答题2016、21、8分解答题2015、13、3分填空题基础知识巩固高频考向探究考点一锐角三角函数考点聚焦如图20-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则sinA=①,cosA=𝑏𝑐,tanA=②.图20-1𝒂𝒄𝒂𝒃基础知识巩固高频考向探究考点二特殊角的三角函数值锐角α锐角三角函数30°45°60°sinα③22④cosα32⑤12tanα⑥13𝟏𝟐𝟑𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑基础知识巩固高频考向探究如图20-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有下列关系:(1)三边的关系:a2+b2=⑦.(2)角的关系:∠A+∠B=⑧°.(3)边与角的关系:sinA=cosB=𝑎𝑐;sinB=cosA=⑨;tanA=𝑎𝑏.(4)面积关系:S=⑩.90考点三解直角三角形c2图20-2𝒃𝒄𝟏𝟐ab基础知识巩固高频考向探究1.仰角和俯角如图20-3,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线⑪的角叫仰角;视线在水平线⑫的角叫俯角.下方考点四解直角三角形的应用上方图20-3基础知识巩固高频考向探究2.坡度和坡角如图20-4,坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的⑬,记作i=ℎ𝑙,坡面与水平面的夹角叫做⑭.坡度与坡角α的关系是i=ℎ𝑙=tanα,显然坡度越大,坡角就越大,坡面就越⑮.图20-4坡度(或坡比)坡角陡基础知识巩固高频考向探究3.方向角(1)指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.(2)方向角的识别,关键是看该角由哪个主方向向次方向偏离,偏离多少度,则读作主方向偏离次方向多少度.如图20-5,由北向东偏30°读作⑯,由南向东偏50°读作⑰,西南方向是指⑱.北偏东30°图20-5南偏东50°南偏西45°基础知识巩固高频考向探究1.[2019·怀化]已知∠α为锐角,且sinα=12,则∠α=()A.30°B.45°C.60°D.90°题组一必会题对点演练A基础知识巩固高频考向探究图20-62.[2019·宜昌]如图20-6,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为()A.43B.34C.35D.45D基础知识巩固高频考向探究3.[2019·苏州]如图20-7,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度.将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上,若测角仪的高度是1.5m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是()A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m图20-7基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]如图,过D作DE⊥AB于点E.∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°,∴∠ADE=30°.∵BC=DE=183m,∴AE=DE·tan30°=18m,∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5(m),故选C.基础知识巩固高频考向探究4.[2019·甘肃]在△ABC中,∠C=90°,tanA=33,则cosB=.𝟏𝟐基础知识巩固高频考向探究5.[2019·盐城]如图20-8,在△ABC中,BC=6+2,∠C=45°,AB=2AC,则AC的长为.图20-8[答案]2[解析]如图,过点A作AD⊥BC于点D.又∠C=45°,故sinC=𝐴𝐷𝐴𝐶=22,tanC=𝐴𝐷𝐶𝐷=1.设AD=x,则AC=2AD=2x,CD=x,AB=2AC=2x,在Rt△ABD中,∠ADB=90°,由勾股定理可得AD2+BD2=AB2,即x2+BD2=(2x)2,得BD=3x,所以BC=BD+CD=(3+1)x=6+2,解得x=2,故AC=2.基础知识巩固高频考向探究图20-96.[2019·德州]如图20-9,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,那么梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为米.(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)[答案]1.02[解析]∵∠ABO=70°,AB=6m,∴sin70°=𝐴𝑂𝐴𝐵=𝐴𝑂6≈0.94,解得AO=5.64(m).∵∠CDO=50°,DC=6m,∴sin50°=𝐶𝑂6≈0.77,解得CO=4.62(m),则AC=5.64-4.62=1.02(m).故答案为:1.02.基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】构造不了直角三角形;解直角三角形构图时忽视高的多种情况.7.[2018·贵阳]如图20-10,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠BAC的值为()A.12B.1C.33D.3图20-10[答案]B[解析]连接BC.由网格可得AB=BC=5,AC=10,即AB2+BC2=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,则tan∠BAC=1.故选B.基础知识巩固高频考向探究8.[2018·无锡]在△ABC中,AB=10,AC=27,∠B=30°,则△ABC的面积等于.基础知识巩固高频考向探究[答案]153或103[解析]作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,①如图①,当AB,AC位于AD异侧时,在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=53,在Rt△ACD中,∵AC=27,∴CD=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=(27)2-52=3,则BC=BD+CD=63,∴S△ABC=12BC·AD=12×63×5=153;基础知识巩固高频考向探究②如图②,当AB,AC在AD的同侧时,由①知,BD=53,CD=3,则BC=BD-CD=43,∴S△ABC=12BC·AD=12×43×5=103.综上,△ABC的面积是153或103,故答案为153或103.基础知识巩固高频考向探究考向一解直角三角形例1[2018·自贡]如图20-11,在△ABC中,BC=12,tanA=34,∠B=30°,求AC和AB的长.图20-11解:过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△BCD中,∵∠B=30°,BC=12,∴CD=12BC=6,BD=BC·cos30°=63.在Rt△ACD中,∵tanA=𝐶𝐷𝐴𝐷=34,∴AD=8,∴AC=𝐶𝐷2+𝐴𝐷2=62+82=10,AB=AD+BD=8+63.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】(1)运用锐角三角函数解决某些问题时,通常都是在直角三角形中进行,若没有直角三角形,常通过添加垂线段(改斜为直)、平行线等方法构建直角三角形.(2)若所给条件与所求结论之间不具备直接的关系,往往需要通过“中间角”或“中间线段”进行“搭桥”与“转化”,因此“搭桥”“转化”与“构造”是解决直角三角形问题的法宝与关键.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图20-121.[2019·乐山]如图20-12,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cosC=35.则AB边的长为.[答案]165[解析]过点A作AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADC中,∵∠ADC=90°,AC=2,∴DC=35×2=65,AD=𝐴𝐶2-𝐶𝐷2=22-(65)2=85.在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠B=30°,∵sinB=𝐴𝐷𝐴𝐵=12,∴AB=2AD=165基础知识巩固高频考向探究2.[2014·江西14题]在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP的长为.基础知识巩固高频考向探究[答案]23或43或6[解析]如图①,当∠ABC=60°时,由BC=6,∠CAB=90°,可得AB=3,AC=33.此时点P的位置有两种可能:点P在线段AC上(图中的点P1),或点P在CA的延长线上(图中的点P2).在Rt△ABP1中,AB=3,∠ABP1=30°,可求得AP1=3,此时CP1=33−3=23;类似地,可知AP2=3,此时CP2=33+3=43;基础知识巩固高频考向探究如图②,当∠ACB=60°时,可求得AB=33,AC=3.当点P在CA的延长线上时(图中点P3),易得AP3=3,此时CP3=3+3=6;当点P在边CA上时,可知点P与点C重合,此种情况不符合题意.综上所述,CP的长为23,43,6,故答案为23或43或6.基础知识巩固高频考向探究考向二解直角三角形的实际应用例2[2019·江西20题]图20-13①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1cm)(1)如图②,∠ABC=70°,BC∥OE.①填空:∠BAO=°;②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.图20-13基础知识巩固高频考向探究(2)如图③,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)图20-13基础知识巩固高频考向探究解:(1)①如图①,延长OA交BC于点F.∵BC∥OE,OA⊥OE,∴∠BFA=∠AOE=90°,∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°.故答案为160.②∵∠BFA=90°,∠ABC=70°,AB=30cm,sin70°≈0.94,∴AF=AB·sin70°≈30×0.94=28.2(cm).∵OA=6.8cm,∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35(cm).又∵CD始终垂直于水平桌面OE,且CD=8cm,∴点D到桌面OE的距离为:OF-CD=35-8=27(cm).基础知识巩固高频考向探究例2[2019·江西20题]图20-13①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B—A—O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1cm)(2)如图③,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求∠ABC的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)图20-13基础知识巩固高频考向探究(2)如图②,作BH⊥CD于点H.∵点D到桌面OE的距离为6cm,点H到桌面OE的距离为35cm,CD=8cm,∴CH=35-8-6=21(cm).又∵BC=35cm,∠H=90°,∴sin∠CBH=𝐶𝐻𝐵𝐶=2135=35=0.6.∵sin36.8°≈0.60,∴∠CBH=36.8°.又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】求解此类问题,一般是先构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形来解决问题.常见的基本图形有如下几种:①不同地点看同一点(如图20-14);②同一地点看不同点(如图20-15);③利用反射构造相似(如图20-16);④堤坝问题(如图20-17).图20-14图20-15图20-16图20-17基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图20-18角度1直角三角形模型1.[2017·江西17题]研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏