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第19课时图形的相似【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测相似三角形的判定2019、21、3分解答题★★★★2018、14、6分2017、13(2)、3分相似三角形性质与应用★★基础知识巩固高频考向探究1.成比例线段对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比①,就说这四条线段成比例.考点一成比例线段考点聚焦2.比例线段的基本性质若𝑎𝑏=𝑐𝑑,则②;当b=c时,③,那么b是a,d的比例中项.相等ad=bcad=b2基础知识巩固高频考向探究3.线段的黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC),如果AC是线段AB和BC的比例中项,且𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐵𝐶𝐴𝐶=5-12≈0.618,那么点C叫做线段AB的④.黄金分割点基础知识巩固高频考向探究考点二平行线分线段成比例定理定理两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段⑤推论(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段⑥;(2)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似成比例成比例基础知识巩固高频考向探究考点三相似三角形的性质及判定判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)三边成比例的两个三角形⑦;(3)两边成比例且⑧相等的两个三角形相似;(4)两角分别相等的两个三角形相似;(5)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似性质(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长的比等于⑨,相似三角形面积的比等于⑩.相似夹角相似比相似比的平方基础知识巩固高频考向探究考点四相似多边形1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应角⑪;(2)相似多边形的对应边⑫;(3)相似多边形的周长比⑬相似比,面积比等于⑭.相等成比例等于相似比的平方基础知识巩固高频考向探究考点五位似定义两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做⑮,对应边的比叫做⑯.位似是一种特殊的相似性质(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于⑰;(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于⑱点;(3)位似图形的对应边互相平行或在一条直线上;(4)位似图形的对应角相等位似中心位似比相似比一基础知识巩固高频考向探究（续表）位似作图(1)确定位似中心O;(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线);(3)按照相似比取点;(4)顺次连接各点,所得图形就是所求的图形基础知识巩固高频考向探究考点六相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系,求线段的长度,图形的面积等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解;(2)计算从底部能直接测量的物体的高度;(3)计算从底部不能直接测量的物体的高度;(4)计算不能直接测量的河的宽度基础知识巩固高频考向探究1.[2019·常州]若△ABC∽△A'B'C',相似比为1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长的比为()A.2∶1B.1∶2C.4∶1D.1∶4题组一必会题对点演练B基础知识巩固高频考向探究2.[2019·兰州]已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则𝐵𝐶𝐵'𝐶'=()A.2B.43C.3D.169B3.[2019·重庆A卷]如图19-1,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是()A.2B.3C.4D.5图19-1C基础知识巩固高频考向探究4.[2019·淄博]如图19-2,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为()A.2aB.52aC.3aD.72a图19-2[答案]C[解析]在△BAC和△ADC中,∵∠C是公共角,∠CAD=∠B,∴△BAC∽△ADC,∴𝐵𝐶𝐴𝐶=2,∴𝑆△𝐴𝐵𝐶𝑆△𝐷𝐴𝐶=𝐵𝐶𝐴𝐶2=4.又∵△ADC的面积为a,∴△ABC的面积为4a,∴△ABD的面积为3a.基础知识巩固高频考向探究5.[2019·郴州]若𝑥+𝑦𝑥=32,则𝑦𝑥=.𝟏𝟐基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】运用平行线分线段成比例定理时,忽视线段的对应关系;混淆相似三角形中的面积比与相似比;忽视相似三角形中可能存在不同的对应关系.基础知识巩固高频考向探究图19-36.[2019·杭州]如图19-3,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE干点N,则()A.𝐴𝐷𝐴𝑁=𝐴𝑁𝐴𝐸B.𝐵𝐷𝑀𝑁=𝑀𝑁𝐶𝐸C.𝐷𝑁𝐵𝑀=𝑁𝐸𝑀𝐶D.𝐷𝑁𝑀𝐶=𝑁𝐸𝐵𝑀[答案]C[解析]∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,∴𝐷𝑁𝐵𝑀=𝐴𝑁𝐴𝑀.∵NE∥MC,∴△ANE∽△AMC,∴𝑁𝐸𝑀𝐶=𝐴𝑁𝐴𝑀,∴𝐷𝑁𝐵𝑀=𝑁𝐸𝑀𝐶.故选C.基础知识巩固高频考向探究7.[2018·连云港]如图19-4,△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则△ADE与△ABC的面积的比为.图19-4[答案]1∶9[解析]∵DE∥BC,AD∶DB=1∶2,∴𝐴𝐷𝐴𝐵=13,△ADE∽△ABC,∴𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=19,故答案为1∶9.基础知识巩固高频考向探究8.如图19-5,矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时,DP=.图19-5[答案]1或4或2.5[解析]①当△APD∽△PBC时,𝐴𝐷𝑃𝐶=𝑃𝐷𝐵𝐶,即25-𝑃𝐷=𝑃𝐷2,解得PD=1或PD=4;②当△PAD∽△PBC时,𝐴𝐷𝐵𝐶=𝑃𝐷𝑃𝐶,即22=𝑃𝐷5-𝑃𝐷,解得DP=2.5.综上所述,DP的长度是1或4或2.5.基础知识巩固高频考向探究考向一相似三角形的性质及判定图19-6例1[2019·贺州]如图19-6,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于()A.5B.6C.7D.8B基础知识巩固高频考向探究例2[2019·南京]如图19-7,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长.图19-7[解析]∵BC的垂直平分线MN交AB于点D,∴CD=BD=3,∴∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=∠B.∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶,∴AC2=AD·AB=2×5=10,∴AC=10.故答案为:10.[答案]10基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图19-81.[2019·乐山]把边长分别为1和2的两个正方形按如图19-8的方式放置.则图中阴影部分的面积为()A.16B.13C.15D.14基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]如图,设BC=x,则CE=1-x,易证△ABC∽△FEC,∴𝐴𝐵𝐸𝐹=𝐵𝐶𝐶𝐸,即12=𝑥1-𝑥,解得x=13,∴阴影部分面积为S△ABC=12×13×1=16.故选A.基础知识巩固高频考向探究2.[2016·江西6题]如图19-9,在正方形网格中,每个小正方形的边长均相等,网格中三个多边形(分别标记为①,②,③)的顶点都在网格线的交点上,被一个多边形覆盖的网格线中,竖直部分线段长度之和为m,水平部分线段长度之和为n,则这三个多边形满足m=n的是()A.只有②B.只有③C.②③D.①②③图19-9基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]假设每个小正方形的边长为1.①:m=1+2+1=4,n=2+4=6,则m≠n;②:在△ACN中,BM∥CN,∴𝐵𝑀𝐶𝑁=𝐴𝑀𝐴𝑁=12,∴BM=12.在△AGF中,DM∥NE∥FG,∴𝐴𝑀𝐴𝐺=𝐷𝑀𝐹𝐺=13,𝐴𝑁𝐴𝐺=𝑁𝐸𝐹𝐺=23,∴DM=13,NE=23.又NH=12,∴m=2+12=52,n=12+1+13+23=52,∴m=n;③:由②得,BE=13,CF=23,∴m=2+2+23+1+13=6,n=4+2=6,∴m=n.则这三个多边形中满足m=n的是②和③.故选C.基础知识巩固高频考向探究3.[2017·江西13(2)题]如图19-10,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°,求证:△EBF∽△FCG.图19-10证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°.∵∠EFG=90°,∴∠BFE+∠CFG=90°.∵∠CGF+∠CFG=90°,∴∠BFE=∠CGF,∴△EBF∽△FCG.基础知识巩固高频考向探究4.[2018·江西14题]如图19-11,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.图19-11解:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC.又∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠DBC=∠D,∴CD=BC=4.又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,∴𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐸𝐶𝐸,∴𝐴𝐸𝐶𝐸=84=2,∴AE=2EC,∴EC=12AE.∵AC=AE+EC=6,∴AE+12AE=6,解得AE=4.基础知识巩固高频考向探究考向二相似三角形的实际应用例3[2018·陕西]周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图19-12.请根据相关测量信息,求河宽AB.图19-12基础知识巩固高频考向探究解:∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴∠ABC=∠ADE=90°.∵∠CAB=∠EAD,∴△ABC∽△ADE,∴𝐵𝐶𝐸𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐷.∵BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m,∴AD=AB+8.5,∴11.5=𝐴𝐵𝐴𝐵+8.5,解得AB=17.∴河宽AB的长为17m.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|[2019·荆门]如图19-13,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.图19-13基础知识巩固高频考向探究解:如图,设E关于点O的对称点为M,由光的反射定律知,延长GC,FA相交于点M,连接GF并延长交OE于点H.∵GF∥AC,∴△MAC∽△MFG,△MOA∽△MHF,∴𝐴𝐶𝐹𝐺=𝑀𝐴𝑀𝐹=𝑀𝑂𝑀𝐻,即𝐴𝐶𝐵𝐷=𝑂𝐸𝑀𝐻=𝑂𝐸𝑀𝑂+𝑂𝐻=𝑂𝐸𝑂𝐸+𝐵𝐹,∴𝑂𝐸𝑂𝐸+1.6=22.1,∴OE=32.答:楼的高度OE为32m.基础知识巩固高频考向探究例4[2019·邵阳]如图19-14,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法中错误的是()A.△ABC∽△A'B'C'B.点C、点O、点C'三点在同一直线上C.AO∶AA'=1∶2D.AB∥A'B