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第18课时直角三角形【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测直角三角形与勾股定理2019、8、3分填空题★★★★2016、23(1)、3分解答题2015、14、3分填空题基础知识巩固高频考向探究定义有一个角是①的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角②;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于③;(3)直角三角形斜边上的中线等于④;(4)勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么⑤考点一直角三角形考点聚焦直角互余斜边的一半斜边的一半a2+b2=c2基础知识巩固高频考向探究判定(1)有一个角等于⑥的三角形是直角三角形(定义);(2)两个内角⑦的三角形是直角三角形;(3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形拓展(1)SRt△ABC=12ch=12ab,其中a,b为两直角边长,c为斜边长,h为斜边上高的长度;(2)Rt△ABC内切圆半径r=a+b-c2,外接圆半径R=c2,即等于斜边的一半（续表）90°互余基础知识巩固高频考向探究定义在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给它们下定义命题定义判断一件事情的语句,叫做命题分类题设成立时,结论一定成立的命题叫做⑧题设成立时,结论不一定成立的命题叫做⑨组成命题都是由⑩和⑪两部分组成的基本事实公认的真命题称为基本事实考点二命题与定理真命题假命题题设结论基础知识巩固高频考向探究（续表）定理要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理的过程叫做⑫.有些命题,它们的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题叫做⑬互逆命题一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设,这样的两个命题,称为互逆命题,如果我们把其中一个命题称为⑭,那么另一个命题就是它的⑮互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么这个逆命题也可以称为原定理的⑯,一个定理和它的逆定理是互逆定理证明定理原命题逆命题逆定理基础知识巩固高频考向探究考点三反证法定义不直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法证明步骤假设命题的结论不正确→从假设的结论出发,推出矛盾→否定假设,肯定原命题的结论正确基础知识巩固高频考向探究1.在Rt△ABC中,∠A=30°,则另一个锐角∠B=()A.40°B.50°C.60°D.70°2.用反证法证明“ab”时第一步应假设()A.abB.a≤bC.a≥bD.a≠b题组一必会题对点演练CC基础知识巩固高频考向探究3.下列四组线段中,能组成直角三角形的是()A.a=1,b=2,c=3B.a=2,b=3,c=4C.a=2,b=4,c=5D.a=3,b=4,c=5D基础知识巩固高频考向探究4.如图18-1,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,点D是AB的中点,则CD=()A.4B.5C.6D.8B图18-1基础知识巩固高频考向探究5.如图18-2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,AB=8,则BC=,∠BCD=,BD=.图18-2430°2基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】由于思考问题片面出现漏解;受思维定式影响忽视斜边与直角边的分情况讨论导致错误.6.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则()A.∠A为直角B.∠B为直角C.∠C为直角D.不是直角三角形A基础知识巩固高频考向探究7.直角三角形的两边长分别为5和4,则该三角形的第三边的长为.[答案]3或41[解析]若第三边x5,则x2+42=52,∴x2=52-42=9,解得x=3(舍负);若第三边y5,则y2=52+42=41.∴y=41(舍负),故该三角形的第三边的长为3或41.基础知识巩固高频考向探究考向一直角三角形的性质图18-3[答案]120[解析]如图.∵D是斜边AB的中点,∴DA=DC,∴∠DCA=∠DAC=30°,∴∠2=∠DCA+∠DAC=60°.∵l1∥l2,∴∠1+∠2=180°,∴∠1=180°-60°=120°.故答案为120.例1(1)[2019·上海]如图18-3,已知直线l1∥l2,含30°角的三角板的直角顶点C在l1上,30°角的顶点A在l2上,如果边AB与l1的交点D是AB的中点,那么∠1=度.基础知识巩固高频考向探究例1(2)[2018·福建A卷]如图18-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D为AB的中点,则CD=.图18-4[答案]3[解析]在△ABC中,以∠ACB为直角的直角三角形的斜边AB=6.∵CD是AB边上的中线,∴CD=12AB=3.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】在直角三角形中,“斜边上的中线等于斜边的一半”“30°角所对的直角边等于斜边的一半”为证明或求线段间的数量关系提供了思路和方法,解题时要注意灵活应用.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·邵阳]如图18-5,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,AD是斜边BC上的中线,将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处,线段DF与AB相交于点E,则∠BED等于()A.120°B.108°C.72°D.36°图18-5基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=36°,∴∠C=90°-∠B=54°.∵AD是斜边BC上的中线,∴AD=BD=CD,∴∠BAD=∠B=36°,∠DAC=∠C=54°,∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=72°.∵将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处,∴∠ADF=∠ADC=72°,∴∠BED=∠BAD+∠ADF=36°+72°=108°.故选B.基础知识巩固高频考向探究2.如图18-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点,连接ED,则∠EDC的度数是()A.25°B.30°C.50°D.65°图18-6[答案]D[解析]∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴∠ACD=90°-∠A=25°.∵∠ACB=90°,∴∠DCE=90°-∠ACD=65°,∵在Rt△CDB中,E是BC的中点,∴EC=ED,∴∠EDC=∠DCE=65°.基础知识巩固高频考向探究考向二利用勾股定理进行计算例2[2018·青岛]如图18-7,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB的中点,沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是()A.322B.32C.3D.33图18-7基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折叠的性质可得∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,∴BE=EF=32.∵点E为AB的中点,∴AB=AC=2BE=3.在Rt△ABC中,BC=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=32+32=32.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】求线段长的问题,主要有两种方法:解直角三角形和利用相似,勾股定理是解直角三角形中体现边之间关系的重要部分,即由边求边时,勾股定理是首选.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·黔东南州]如图18-8,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为.图18-83基础知识巩固高频考向探究2.[2019·宜宾]如图18-9,已知直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=.图18-9[答案]165[解析]在Rt△ABC中,AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=5.由题易得△ABC∽△ACD,则AC2=AD·AB,∴AD=𝐴𝐶2𝐴𝐵=165.故答案为:165.基础知识巩固高频考向探究考向三勾股定理的逆定理例3[2019·北京]如图18-10所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=°(点A,B,P是网格线交点).图18-10[答案]45[解析]可延长AP交正方形网格于点Q,连接BQ,如图.经计算PQ=BQ=5,PB=10,∴PQ2+BQ2=PB2,即△PBQ为等腰直角三角形,∴∠BPQ=45°,∴∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°,故答案为45.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.已知a,b,c是△ABC的三边长,且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等,则△ABC为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.任意三角形[答案]B[解析]原方程整理得(a+c)x2+2bx+a-c=0.因为方程两根相等,所以(2b)2-4(a+c)(a-c)=4b2+4c2-4a2=0,即b2+c2=a2,所以△ABC是直角三角形.基础知识巩固高频考向探究图18-112.[2019·南昌八一中学联考]如图18-11,在四个均由16个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这四个三角形中,形状与众不同的是()基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]图A中三角形各边长为17,10,5,故该三角形为钝角三角形;图B中各边长为2,4,20,故该三角形为直角三角形;图C中各边长为8,2,10,故该三角形为直角三角形;图D中各边长为5,20,5,故该三角形为直角三角形,故B,C,D选项中的三角形均为直角三角形.故选A.