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第17课时等腰三角形【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测等腰三角形2017、8、3分填空题★★★★2016、11、3分填空题2015、23(3)、3分解答题等边三角形2019、17、3分解答题★★2014、23、10分基础知识巩固高频考向探究定义有①相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角性质(1)两个底角相等(简称②);(2)顶角平分线、底边上的③、底边上的高相互重合(简称三线合一);(3)是轴对称图形,有④条对称轴判定(1)在△ABC中,AB=AC⇒△ABC是等腰三角形(定义);(2)在△ABC中,∠B=∠C⇒△ABC是等腰三角形面积S=ah,其中a是底边长,h是底边上的高考点一等腰三角形考点聚焦两边等边对等角中线112基础知识巩固高频考向探究考点二等边三角形定义三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于⑤;(2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;(3)等边三角形是轴对称图形,有⑥条对称轴判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形面积S=a2,a是等边三角形的边长3460°3基础知识巩固高频考向探究考点三线段的垂直平分线定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离⑦判断与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的⑧上相等垂直平分线基础知识巩固高频考向探究1.如图17-1,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为()A.40°B.45°C.50°D.60°题组一必会题对点演练C图17-1基础知识巩固高频考向探究2.如图17-2,AB∥CD,AD=CD,∠1=50°,则∠2的度数是()A.55°B.60°C.65°D.70°图17-2[答案]C[解析]∵AB∥CD,∴∠2=∠ACD.又∵AD=CD,∴∠DAC=∠ACD.∵三角形内角和等于180°,∴∠2=∠ACD=12(180°-50°)=65°.故选C.基础知识巩固高频考向探究3.[2018·襄阳]如图17-3,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于12AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为()A.16cmB.19cmC.22cmD.25cm图17-3B基础知识巩固高频考向探究4.[2019·成都]如图17-4,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为.9图17-4基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】忽视等腰三角形的腰与底边的区别,底角与顶角的区别导致错误;受片面思维的影响,忽视等腰三角形腰上的高的不同情况导致漏解.5.[2019·广安]等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm.[答案]32[解析]由题意知,应分两种情况:(1)当腰长为6cm时,三角形三边长分别为6,6,13,又6+613,不能构成三角形;(2)当腰长为13cm时,三角形三边长分别为6,13,13,周长=2×13+6=32(cm).故答案为32.基础知识巩固高频考向探究6.等腰三角形一个外角等于110°,则其底角为.[答案]55°或70°[解析]分两种情况:(1)当顶角的外角是110°时,顶角是180°-110°=70°,则底角是12×(180°-70°)=55°;(2)当底角的外角是110°时,底角是180°-110°=70°.故底角为55°或70°.基础知识巩固高频考向探究7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°,则这个等腰三角形的底角为.[答案]70°或20°[解析](1)如图①,当该等腰三角形为钝角三角形时,∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°,∴底角=12(90°-50°)=20°;(2)如图②,当该等腰三角形为锐角三角形时,∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°,∴底角=12[180°-(90°-50°)]=70°.基础知识巩固高频考向探究考向一等腰三角形的判定与性质例1[2019·衢州]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图17-5所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是()A.60°B.65°C.75°D.80°图17-5基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC.∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°,∴∠ODC=25°.∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,∴∠CDE=105°-∠ODC=80°.故选D.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2017·江西8题]如图17-6①是一把园林剪刀,把它抽象为图②,其中OA=OB,若剪刀张开的角为30°,则∠A=度.图17-6[答案]75[解析]由对顶角的性质可知∠AOB=30°.∵OA=OB,∴∠A=∠B,在△ABO中,∠A=∠B=12×(180°-30°)=75°.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·重庆B卷]如图17-7,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.图17-7解:(1)(方法一):∵AB=AC,∠C=42°,∴∠B=∠C=42°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD⊥BC,∴∠BAD=12∠BAC=12×96°=48°.基础知识巩固高频考向探究(方法二):∵AB=AC,∠C=42°,∴∠B=∠C=42°.∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·重庆B卷]如图17-7,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.图17-7(2)证明:∵EF∥AC,∴∠CAF=∠F.∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠CAF=∠BAF,∴∠F=∠BAF,∴AE=FE.基础知识巩固高频考向探究考向二与等腰三角形有关的多解问题例2[2019·齐齐哈尔]等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=12AC,则等腰△ABC底角的度数为.基础知识巩固高频考向探究[答案]15°或45°或75°[解析](1)如图①,当点B是顶角顶点时,∵AB=BC,BD⊥AC,∴AD=CD.∵BD=12AC,∴AD=BD=CD,在Rt△ABD中,∠A=∠ABD=12×(180°-90°)=45°.(2)如图②,当点B是底角顶点,且BD在△ABC外部时,∵BD=12AC,AC=BC,∴BD=12BC,∴∠BCD=30°,∴∠ABC=∠BAC=12×30°=15°.基础知识巩固高频考向探究(3)如图③,当点B是底角顶点,且BD在△ABC内部时.∵BD=12AC,AC=BC,∴BD=12BC,∴∠C=30°,∴∠ABC=∠BAC=12(180°-30°)=75°.故答案为:15°或45°或75°.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】解决与等腰三角形有关的问题时,一定要分清顶角和底角,底边和腰,高是在三角形内还是在三角形外,有些情况应该分类讨论,同时注意三角形的三边关系.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2018·义乌]等腰三角形ABC中,顶角A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为.基础知识巩固高频考向探究[答案]30°或110°[解析]根据题意作出图形(如图),当点P在直线AB的右侧时,连接AP.∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC=∠C=70°.∵AB=AB,AC=PB,BC=PA,∴△ABC≌△BAP,∴∠ABP=∠BAC=40°,∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°.当点P'在AB的左侧时,同理可得∠ABP'=40°,∴∠P'BC=40°+70°=110°.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·陇南]定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=.[答案]85或14[解析]①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为180°-80°2=50°,∴特征值k=80°50°=85;②当∠A为底角时,顶角的度数为:180°-80°-80°=20°,∴特征值k=20°80°=14.综上所述,特征值k为85或14.基础知识巩固高频考向探究考向三等边三角形的性质与判定例3[2018·嘉兴]如图17-8,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.图17-8证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C,∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|如图17-9,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数;(2)若CD=2,求DF的长.图17-9解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=30°.基础知识巩固高频考向探究如图17-9,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(2)若CD=2,求DF的长.图17-9(2)方法一:∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC为等边三角形,∴DE=CD=2.∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4.基础知识巩固高频考向探究方法二:∵△ABC为等边三角形,DE∥AB,∴∠EDF=∠B=∠A=∠DEC=60°,∴CE=CD=2.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠CEF=90°-∠DEC=30°=∠F,∴CF=CE=CD=2.故DF=CD+CF=4.