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第16课时三角形的基本知识及全等三角形【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测三角形内角和定理2019、10、3分填空题★★三角形中相关线段★★全等三角形的判定2015、9、3分填空题★★全等三角形的性质2014、23(1)、3分解答题★★基础知识巩固高频考向探究考点一三角形的分类及三角形有关角的性质考点聚焦1.三角形的分类:(1)按边分:三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不等的三角形①等边三角形基础知识巩固高频考向探究(2)按角分:三角形直角三角形斜三角形锐角三角形②钝角三角形基础知识巩固高频考向探究2.三角形的内角和:三角形三个内角的和等于③.180°3.三角形外角的性质:(1)三角形的一个外角④任何一个和它不相邻的内角;(2)三角形的一个外角⑤与它不相邻的两个内角之和.大于等于基础知识巩固高频考向探究考点二三角形有关边及重要线段的性质1.三角形三边关系三角形的任意两边之和⑥第三边;任意两边之差⑦第三边.大于小于基础知识巩固高频考向探究名称图形性质重要结论中线BD=⑧=⑨BC三角形的三条中线的交点在三角形的⑩部,中线将三角形分成两个面积相等的三角形高线AD⊥⑪,即∠ADB=⑫=90°⑬三角形的三条高的交点在三角形的内部;⑭三角形的三条高的交点是直角顶点;⑮三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部,这个点称为垂心2.三角形中的重要线段DC内BC∠ADC锐角𝟏𝟐直角钝角基础知识巩固高频考向探究角平分线∠1=⑯=12∠BAC三角形的三条角平分线的交点在三角形的⑰部,这个点称为内心中位线⑱∥BC且DE=⑲BC△ADE∽△ABC,相似比为1∶2,面积比为1∶4垂直平分线DE⊥BC,且BE=⑳,BD=㉑锐角三角形的三条垂直平分线的交点在三角形的㉒部,这个点称为外心（续表）∠2内DE𝟏𝟐ECDC内基础知识巩固高频考向探究考点三全等三角形的性质1.能够完全重合的两个图形就是㉓.能够完全重合的两个三角形就是㉔.2.全等三角形的对应边㉕,对应角㉖.3.全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线)㉗,周长相等,面积相等.全等图形全等三角形相等相等相等基础知识巩固高频考向探究考点四全等三角形的判定1.三角形全等的判定方法:SAS,㉘,㉙,㉚.2.两个直角三角形全等的判定方法除了一般的三角形全等的判定方法之外,还有㉛.ASASSSAASHL基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】证明三角形全等的一般思路:证明三角形全等已知两边找夹角→SAS找直角→HL找第三边→SSS已知一边一角边为角的对边→找任一角→AAS边为角的一边找角的另一边→SAS找边的另一邻角→ASA找边的对角→AAS已知两角找夹边→ASA找任一角的对边→AAS基础知识巩固高频考向探究角平分线的性质角平分线的判定角平分线上的点到角两边的距离㉜角的内部到角两边距离相等的点在㉝上考点五角平分线的性质和判定相等角的平分线基础知识巩固高频考向探究题组一必会题对点演练1.在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形D基础知识巩固高频考向探究2.如图16-1,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=()A.35°B.95°C.85°D.75°图16-1[答案]C[解析]∵CE是∠ACD的平分线,∴∠ACD=60°×2=120°.又∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B,∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°,故选C.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·徐州]下列长度的三条线段,能组成三角形的是()A.2,2,4B.5,6,12C.5,7,2D.6,8,10D4.如图16-2,CD,CE,CF分别是△ABC的高,角平分线,中线,则下列各式中错误的是()A.AB=2BFB.∠ACE=12∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE图16-2C基础知识巩固高频考向探究5.[2019·齐齐哈尔]如图16-3,已知在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,BF=CE,点B,F,C,E在同一条直线上,若使△ABC≌△DEF,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)图16-3AB=DE(答案不唯一)基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】混淆三角形中位线与中线,涉及三角形的边长或周长的计算时忽略三角形三边关系.6.如图16-4,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFC=90°,若AC=10,BC=16,则DF的长为()A.5B.3C.8D.10图16-4基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]∵DE是△ABC的中位线,∴DE=12BC=8.∵∠AFC=90°,E是AC的中点,∴EF=12AC=5,∴DF=DE-EF=3.基础知识巩固高频考向探究7.四根长度分别为3,4,6,x(x为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,则组成的三角形中周长最小为.[答案]11[解析]其中任意三根的组合有3,4,6;3,4,x;3,6,x;4,6,x共四种情况,由题意:从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,可得3x7,由x为正整数,得x为4或5或6.①若三边为3,4,6时,其周长为3+4+6=13;②若三边为3,4,x时,其周长最小为4+3+4=11;③若三边为3,6,x时,其周长最小为3+6+4=13;④若三边为4,6,x时,其周长最小为4+6+4=14.综上所述,三角形周长最小为11.基础知识巩固高频考向探究考向一三角形内角和、内外角关系例1(1)[2019·赤峰]如图16-5,点D在BC的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为()A.65°B.70°C.75°D.85°B图16-5基础知识巩固高频考向探究例1(2)[2019·枣庄]将一副直角三角板按如图16-6所示的位置放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则∠α的度数是()A.45°B.60°C.75°D.85°C图16-6基础知识巩固高频考向探究例1(3)[2019·江西10题]如图16-7,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE=°.[答案]20[解析]∵∠BAD=∠ABC=40°,∴∠ADC=∠BAD+∠ABC=40°+40°=80°.∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED,∴∠ADE=∠ADB=180°-∠ADC=180°-80°=100°.∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°.图16-7基础知识巩固高频考向探究【方法点析】在求较复杂图形中的角度时,经常把需要求的角度与已知角度,通过等量代换等方法转化到同一个三角形中,再利用三角形的内角和定理及其推论解决问题.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·绍兴]如图16-8,墙上钉着三根木条a,b,c,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条a,b所在直线所夹的锐角是()A.5°B.10°C.30°D.70°图16-8B基础知识巩固高频考向探究2.[2019·南宁]将一副三角板按如图16-9所示的位置摆放在直尺上,则∠1的度数为()A.60°B.65°C.75°D.85°图16-9[答案]C[解析]如图.∵∠BCA=60°,∠DCE=45°,∴∠2=180°-60°-45°=75°.∵HF∥BC,∴∠1=∠2=75°.故选C.基础知识巩固高频考向探究例2[2019·盐城]如图16-10,点D,E分别是△ABC边BA,BC的中点,AC=3,则DE的长为()A.2B.43C.3D.32考向二三角形中重要线段的相关计算图16-10D基础知识巩固高频考向探究【方法点析】在三角形中,遇到边的中点常构造中位线,利用中位线定理解决相关边的位置关系和大小关系,或借助三角形中线构建面积相等的两个三角形.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·黄石]如图16-11,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=()A.125°B.145°C.175°D.190°图16-11[答案]C[解析]连接DF.∵CD⊥AB于点D,∴∠CDA=∠CDB=90°.∵∠B=50°,∴∠DCB=40°.∵CE,DE分别平分∠DCB,∠CDB,∴∠CED=115°.∵F为边AC的中点,∴DF=CF.又∵CD=CF,∴△CDF为等边三角形,∴∠ACD=60°,∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.故选C.基础知识巩固高频考向探究2.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD的长为m,则m的取值范围是.[答案]1m4[解析]如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接EC.由题易知BD=CD.又∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD,∴CE=AB,∴CE=5.∵AD=m,则AE=2m,∴5-32m5+3,∴1m4.基础知识巩固高频考向探究考向三全等三角形的性质、判定及有关计算图16-12证明:由∠ECB=70°得∠ACB=110°.∵∠D=110°,∴∠ACB=∠D.∵AB∥DE,∴∠CAB=∠E.又∵AB=AE,∴△ABC≌△EAD.例3[2019·益阳]已知,如图16-12,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,求证:△ABC≌△EAD.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2015·江西9题]如图16-13,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形.图16-13[答案]3[解析]∵OP平分∠MON,∴∠AOP=∠BOP.∵OA=OB,OP=OP,∴△OAP≌△OBP(SAS).∴AP=BP.∵PE⊥OM,PF⊥ON,∴∠OEP=∠OFP=90°.又∵∠EOP=∠FOP,OP=OP,∴△OEP≌△OFP(AAS),∴PE=PF,∴Rt△AEP≌Rt△BFP(HL).∴图中共有3对全等三角形.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·邵阳]如图16-14,已知AD=AE,请你添加一个条件,使得△ADC≌△AEB,你添加的条件是.(不添加任何字母和辅助线)[答案]AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ACD=∠ABE[解析]∵∠A=∠A,AD=AE,∴可以添加AB=AC,此时满足SAS;添加条件∠ADC=∠AEB,此时满足ASA;添加条件∠ACD=∠ABE,此时满足AAS,故答案为AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ACD=∠ABE.图16-14基础知识巩固高频考向探究3.[2019·宜昌]如图16-15,在△ABC中,D是BC边上一点,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE.(1)求证:△ABE≌△DBE;(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度数.图16-15解:(1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE,在△ABE和△DBE中,𝐴𝐵=𝐷𝐵,∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐵𝐸,𝐵𝐸=𝐵𝐸,∴△ABE≌△DBE(SAS).基础知识巩固高频考向探究3.[2019·宜昌]如图16-15,在△ABC中,D是BC边上一点,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE.(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度数.图16-15(2)∵∠A=100°,∠C=50°,∴∠ABC=30°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE=12∠ABC=15°,在△ABE中,∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°.