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第13课时二次函数的图象与性质(二)【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测二次函数、方程与不等式2017、22(1)、3分解答题★★★2015、23(3)、3分2013、6、3分选择题二次函数有关变量系数的综合探究2017、22(1)(2)、4分解答题★★★★★2015、23(1)、2分2014、24(1)(2)、6分2014、6、3分选择题2013、24(1)(2)、6分解答题基础知识巩固高频考向探究考点一二次函数的图象与系数的关系考点聚焦项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征aa0开口向①a0开口向②bb=0对称轴为③轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴④侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑤侧上下y左右基础知识巩固高频考向探究项目字母字母的符号图象的特征cc=0经过点⑥c0与y轴⑦相交c0与y轴⑧相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有⑨个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点(续表)(0,0)正半轴负半轴两基础知识巩固高频考向探究项目字母字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=⑩若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=⑪时,y0(续表)a-b+c-1基础知识巩固高频考向探究抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个⑫的实数根1个b2-4ac=0两个⑬的实数根没有b2-4ac0⑭实数根考点二二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系不相等相等没有基础知识巩固高频考向探究2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于⑮的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方基础知识巩固高频考向探究1.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.3题组一必会题对点演练C基础知识巩固高频考向探究2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图13-1,下列结论:①b24ac;②abc0;③2a+b-c0;④a+b+c0.其中正确的是.(填序号)图13-1①④基础知识巩固高频考向探究3.二次函数y=x2-x-6的图象如图13-2,观察图象回答:(1)当时,y0;(2)当时,y=0;(3)当时,y0.图13-2x-2或x3x=-2或x=3-2x3基础知识巩固高频考向探究4.若二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是.x1=1,x2=2基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】不理解抛物线与x轴的位置关系就是一元二次方程根的情况,没有掌握二次函数解析式中的二次项系数与一次项系数共同决定对称轴的位置.5.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.只有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧D基础知识巩固高频考向探究6.[2018·莱芜]函数y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点(2,0),则使函数值y0成立的x的取值范围是()A.x-4或x2B.-4x2C.x0或x2D.0x2[答案]A[解析]由题意,得4a+4a+m=0,∴m=-8a,∴y=ax2+2ax-8a.令y=0,得ax2+2ax-8a=0,即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.∵a0,∴当x-4或x2时y0.基础知识巩固高频考向探究7.已知二次函数y=kx2-(2k-1)x+k-2的图象与x轴交于两个不同的点,那么k的取值范围是.k-𝟏𝟒且k≠0基础知识巩固高频考向探究考向一二次函数的图象与各项系数的关系例1[2018·恩施州]抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,部分图象如图13-3,下列判断:①abc0;②b2-4ac0;③9a-3b+c=0;④若点(-0.5,y1),(-2,y2)均在抛物线上,则y1y2;⑤5a-2b+c0,其中正确的个数为()A.2B.3C.4D.5图13-3基础知识巩固高频考向探究[答案]B[解析]根据二次函数的图象与系数的关系可得:a0,b0,c0,∴abc0,①错误;∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac0,②正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点的坐标为(1,0),根据抛物线的对称性,得另一个交点的坐标为(-3,0),把(-3,0)代入二次函数表达式,可得9a-3b+c=0,③正确;点(-2,y2)关于对称轴对称的点的坐标为(0,y2),抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,由-0.50,得y1y2,故④错误;由-𝑏2𝑎=-1,得b=2a,∵y=a(x-1)(x+3),∴y=ax2+2ax-3a,c=-3a,5a-2b-3a=2(a-b)=-2a0,∴⑤正确.故选B.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】利用图象位置来判断系数的符号,或者含有系数的关系式(a的符号由开口方向决定,c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定,b的符号由a及对称轴的位置确定,抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号)时,常利用数形结合思想,通过对开口方向以及对称轴位置,与坐标轴的交点位置、顶点和其他特殊点位置的“量化”分析,得到关系式.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-4,下列结论:①ac0,②b-2a0,③b2-4ac0,④a-b+c0,正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②④图13-4基础知识巩固高频考向探究[答案]A[解析]∵抛物线开口向下,且与y的正半轴相交,∴a0,c0,∴ac0,∴①正确;∵对称轴在-1与-2之间,∴-2-𝑏2𝑎-1,∴4ab2a,∴b-2a0,∴②正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac0,∴③错误;∵当x=-1时,y=a-b+c0,∴④错误.∴正确的说法是①②.故选A.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·甘肃]如图13-5是二次函数y=ax2+bx+c的图象,对于下列说法:①ac0,②2a+b0,③4acb2,④a+b+c0,⑤当x0时,y随x的增大而减小,其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤图13-5基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]①由图象可知a0,c0,∴ac0,故①错误;②由对称轴可知-𝑏2𝑎1,∴2a+b0,故②正确;③∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac0,故③正确;④由图象可知,当x=1时,y=a+b+c0,故④正确;⑤当x-𝑏2𝑎时,y随着x的增大而增大,故⑤错误.基础知识巩固高频考向探究3.如图13-6,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0x11.下列四个结论:①abc0;②2a-c0;③a+b+c0;④4𝑎𝑏+𝑏𝑎-4.正确的个数是()A.1B.2C.3D.4图13-6基础知识巩固高频考向探究[答案]D[解析]①∵抛物线开口向上,∴a0.∵抛物线对称轴在y轴的右侧,∴b0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c0,∴abc0,∴①正确.②∵图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0x11,∴2+02-𝑏2𝑎2+12,∴1-𝑏2𝑎32,当-𝑏2𝑎32时,b-3a.∵当x=2时,y=4a+2b+c=0,∴b=-2a-12c,∴-2a-12c-3a,∴2a-c0,故②正确.③由图知x=1时,y0,∴a+b+c0,故③正确.④∵-𝑏2𝑎1,∴2a+b0,∴(2a+b)20,4a2+b2+4ab0,∴4a2+b2-4ab.∵a0,b0,∴ab0,∴4𝑎2+𝑏2𝑎𝑏-4,即4𝑎𝑏+𝑏𝑎-4,故④正确.基础知识巩固高频考向探究考向二借助图象求解二次函数、方程与不等式之间的关系例2[2019·潍坊]抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2≤t11B.t≥2C.6t11D.2≤t6[答案]A[解析]由题意得b=-2,抛物线解析式为y=x2-2x+3,当-1x4,2≤t11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t有交点,故关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,所以t的取值范围是2≤t11.故选A.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·南昌八一中学联考]如图13-7是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a+b+c=0;②b2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c0.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.①③D.①②③④图13-7基础知识巩固高频考向探究[答案]C[解析]∵当x=1时,y=0,∴a+b+c=0,∴①正确.∵x=-𝑏2𝑎=-1,∴b=2a,∴②错误.∵点(1,0)关于直线x=-1对称的点的坐标为(-3,0),∴抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)和(1,0),∴ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1,∴③正确.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c0.而a+b+c=0,b=2a,∴c=-3a,∴a-2b+c=-3b.∵b0,∴-3b0,∴④错误.故选C.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…基础知识巩固高频考向探究解:(1)根据甲同学的错误可知当x=0时,y=c=3是正确的.由甲同学提供的数据,选择将x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax2+bx+3,得𝑎-𝑏+3=6,𝑎+𝑏+3=2,解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据,选择将x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x2+bx+c,得1-𝑏+𝑐=-2,1+𝑏+𝑐=2,解得b=2是正确的.∴y=x2+2x+3.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;x…-10123…y甲…63236…x…-10123…y乙…-2-12714…基础知识巩固高频考向探究(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1.∵二次项系数为1,故抛物线开口向上,∴当x≥-1时,y的值随x值的增大而增大.故答案为≥-1.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:乙写错了常数项,列表如下:通过上述信息,解决以下问题:(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不