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第11课时反比例函数【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测反比例函数的图象与性质2016、11、3分填空题★★★反比例函数与一次函数的结合2019、5、3分选择题★★★★2018、17、6分解答题2018、6、3分选择题2017、20、8分解答题2015、21、8分解答题反比例函数与几何图形的结合2014、19、8分解答题★★★2013、19、8分基础知识巩固高频考向探究考点一反比例函数的概念考点聚焦一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).x≠0基础知识巩固高频考向探究一般形式y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值kk的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值考点二反比例函数的图象与性质减小增大基础知识巩固高频考向探究对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题（续表）原点基础知识巩固高频考向探究考点三反比例函数比例系数k的几何意义1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.基础知识巩固高频考向探究S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧S△APP1=⑨2.常见的与反比例函数有关的图形面积|k||𝒌|𝟐2|k|基础知识巩固高频考向探究考点四反比例函数解析式的确定待定系数法(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将点P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解基础知识巩固高频考向探究利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.考点五反比例函数的实际应用基础知识巩固高频考向探究1.反比例函数y=2𝑥的图象位于()A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D.第二、四象限题组一必会题对点演练A基础知识巩固高频考向探究2.[2019·无锡]如图11-1,已知A为反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B.若△OAB的面积为2,则k的值为()A.2B.-2C.4D.-4图11-1D基础知识巩固高频考向探究3.[2019·天津]若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-12𝑥的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2y1y3B.y3y1y2C.y1y2y3D.y3y2y1B基础知识巩固高频考向探究4.[2019·枣庄]如图11-2,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上.若AB=1,则k的值为()A.1B.22C.2D.2A图11-2基础知识巩固高频考向探究5.[2019·泸州]如图11-3,一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=𝑘𝑥的图象相交于A,B两点,则使y1y2成立的x的取值范围是()A.-2x0或0x4B.x-2或0x4C.x-2或x4D.-2x0或x4B图11-3基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】对反比例函数中k的几何意义理解不到位;反比例函数图象与性质问题中函数的不连续性在研究反比例函数的增减性时要谨慎.D6.[2018·绥化]已知反比例函数y=3𝑥,下列结论中不正确的是()A.其图象经过点(3,1)B.其图象分别位于第一、三象限C.当x0时,y随x的增大而减小D.当x1时,y3基础知识巩固高频考向探究7.已知点A(-2,y1),B(1,y2)都在反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象上,则y1y2.(填“”“”或“=”)8.如图11-4,A,B两点是双曲线y=𝑘𝑥的一个分支上的两点,且B(a,b)在A点的右侧,则b的取值范围是.图11-40b2基础知识巩固高频考向探究考向一反比例函数的图象与性质例1[2018·衡阳]对于反比例函数y=-2𝑥,下列说法不正确的是()A.图象分布在第二、四象限B.当x0时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,-2)D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1x2,则y1y2D基础知识巩固高频考向探究1.如果反比例函数y=𝑎-2𝑥(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是()A.a0B.a0C.a2D.a2|考向精练|D基础知识巩固高频考向探究2.[2019·益阳]反比例函数y=𝑘𝑥的图象上有一点P(2,n),将点P向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点Q.若点Q也在该函数的图象上,则k=.[答案]6[解析]∵将点P(2,n)向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点Q(3,n-1),且点P,Q均在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,∴𝑛=𝑘2,𝑛-1=𝑘3,∴𝑘2-1=𝑘3,解得k=6.基础知识巩固高频考向探究考向二反比例函数比例系数k的几何意义例2[2019·兰州]如图11-5,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.(1)求反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的表达式;(2)若四边形ACBO的面积是33,求点A的坐标.图11-5基础知识巩固高频考向探究解:(1)如图,过点B作BD⊥OC于点D.∵△BOC是等边三角形,∴OB=OC=2,OD=12OC=1,∴BD=𝑂𝐵2-𝑂𝐷2=3.∴S△OBD=12OD·BD=32.又∵S△OBD=12|k|,∴|k|=3.∵反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象在第一、三象限,∴k=3.∴反比例函数的表达式为y=3𝑥.基础知识巩固高频考向探究例2[2019·兰州]如图11-5,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.(2)若四边形ACBO的面积是33,求点A的坐标.图11-5基础知识巩固高频考向探究(2)∵S△OBC=12OC·BD=12×2×3=3,∴S△AOC=33−3=23.∵S△AOC=12OC·yA=23,∴yA=23.把y=23代入y=3𝑥,得x=12.∴点A的坐标为12,23.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.如图11-6,点P是反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象上任意一点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M.若△POM的面积等于2,则k的值等于()A.-4B.4C.-2D.2图11-6A基础知识巩固高频考向探究2.[2019·株洲]如图11-7,在直角坐标系xOy中,点A,B,C为反比例函数y=𝑘𝑥(k0)上不同的三点,连接OA,OB,OC,过点A作AD⊥y轴于点D,过点B,C分别作BE,CF垂直x轴于点E,F,OC与BE相交于点M,记△AOD,△BOM,四边形CMEF的面积分别为S1,S2,S3,则()A.S1=S2+S3B.S2=S3C.S3S2S1D.S1S2𝑆32图11-7B基础知识巩固高频考向探究3.[2019·齐齐哈尔]如图11-8,矩形ABOC的顶点B,C分别在x轴,y轴上,顶点A在第二象限,点B的坐标为(-2,0),将线段OC绕点O逆时针旋转60°得直线段OD.若反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象经过A,D两点,则k的值为.图11-8基础知识巩固高频考向探究[答案]-1633[解析]过点D作DH⊥x轴于点H.∵B(-2,0),∴设A-2,-𝑘2,则AB=OC=OD=-𝑘2.∵∠COD=60°,∴∠HOD=30°.在Rt△DOH中,DH=-𝑘4,OH=-34k,∴D34k,-𝑘4,∴34k·-𝑘4=k,∴k=-1633.基础知识巩固高频考向探究4.[2016·江西11题]如图11-9,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y1=𝑘1𝑥(x0)及y2=𝑘2𝑥(x0)的图象分别交于点A,B,连接OA,OB,已知△OAB的面积为2,则k1-k2=.图11-94基础知识巩固高频考向探究考向三反比例函数与一次函数综合图11-10例3[2018·雅安]如图11-10,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象交于第一、三象限内的A,B两点,与x轴的负半轴交于点C,过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,AM=6,OC=1,tan∠ACM=2.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接BM,求△ABM的面积.基础知识巩固高频考向探究解:(1)因为AM⊥x轴,所以∠AMC=90°.在Rt△ACM中,因为AM=6,tan∠ACM=2,所以CM=3.因为OC=1,所以OM=2.所以点A的坐标为(2,6).因为点A(2,6)在双曲线上,所以m=2×6=12.所以反比例函数的解析式为y=12𝑥.又因为点C在x轴的负半轴上,且OC=1,所以C(-1,0).把点A(2,6),C(-1,0)的坐标代入y=kx+b中,得2𝑘+𝑏=6,-𝑘+𝑏=0,解得𝑘=2,𝑏=2.所以一次函数的解析式为y=2x+2.基础知识巩固高频考向探究图11-10例3[2018·雅安]如图11-10,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象交于第一、三象限内的A,B两点,与x轴的负半轴交于点C,过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,AM=6,OC=1,tan∠ACM=2.(2)连接BM,求△ABM的面积.基础知识巩固高频考向探究(2)联立一次函数和反比例函数的解析式,解得𝑥1=2,𝑦1=6,𝑥2=-3,𝑦2=-4.所以点B的坐标为(-3,-4).所以△BCM中CM边上的高为4,所以S△ABM=S△ACM+S△BCM=12×3×6+12×3×4=15.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】确定函数的解析式一般采用待定系数法,解析式有几个待定系数,便需要几个已知点的坐标,将其代入含待定系数的解析式求解;反比例函数与一次函数的交点问题,用待定系数法求出解析式后,利用方程组即可求出交点坐标.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|图11-111.[2013·江西4题]如图11-11,直线y=x+a-2与双曲线y=4𝑥交于A,B两点,则当线段AB的长度取最小值时,a的值为()A.0B.1C.2D.5[答案]C[解析]把(0,0)代入y=x+a-2中,得a=2.故选C.基础知识巩固高频考向探究2.[2019·江西]已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是()A.反比例函数y2的解析式是y2=-8𝑥B.两个函数图象的另一个交点坐标为(2,-4)C.当x-2或0x2时,y1y2D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大C基础知识巩固高频考向探究3.[2018·江西6题]在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2,探究直线l1,直线l2与双曲线y=3𝑥的关系,下列结论中错误的是()A.两直线中总有一条与双