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第8课时一元二次方程及其应用【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测一元二次方程根与系数的关系2019、9、3分填空题★★★★★2018、11、3分填空题2017、5、3分选择题2016、5、3分选择题2015、11、3分填空题2014、10、3分填空题基础知识巩固高频考向探究1.一般形式:考点一一元二次方程及其解法考点聚焦图8-1基础知识巩固高频考向探究2.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂基础知识巩固高频考向探究方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解（续表）-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂基础知识巩固高频考向探究1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.考点二一元二次方程根的判别式、根与系数的关系两个不相等两个相等没有-𝒃𝒂𝒄𝒂基础知识巩固高频考向探究考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量基础知识巩固高频考向探究应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)（续表）𝒂-𝒙𝟐·x基础知识巩固高频考向探究1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是()A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠02.方程(x-2)(x+3)=0的解是()A.x=2B.x=-3C.x1=-2,x2=3D.x1=2,x2=-3题组一必会题对点演练AD基础知识巩固高频考向探究3.[2019·滨州]用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时,下列变形正确的是()A.(x-2)2=1B.(x-2)2=5C.(x+2)2=3D.(x-2)2=34.[2019·泰州]方程2x2+6x-1=0的两根为x1,x2则x1+x2等于()A.-6B.6C.-3D.3DC基础知识巩固高频考向探究5.关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有实数根,则实数m的取值范围是()A.m4B.m≥4C.m≤4D.m4[答案]C[解析]∵方程有实数根,∴Δ=(-4)2-4×1·m=16-4m≥0,解得m≤4.故选C.基础知识巩固高频考向探究6.[2019·衡阳]国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路,某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得()A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2x)=1D.9(1+x)2=1B基础知识巩固高频考向探究7.一元二次方程x2=3x的解是.题组二易错题【失分点】忽略一元二次方程二次项系数不能为0的条件;解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,造成漏解;错用求根公式.x1=0,x2=38.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.a-𝟏𝟑且a≠0基础知识巩固高频考向探究例1选择最佳方法解下列关于x的方程:(1)(x+1)2=(1-2x)2;(2)x2-6x+8=0;(3)x2-22x+2=0;(4)-2x2+2x+1=0.考向一一元二次方程的解法解:(1)(x+1)2=(1-2x)2.直接开方得x+1=1-2x或x+1=-(1-2x),解得x1=2,x2=0.基础知识巩固高频考向探究例1选择最佳方法解下列关于x的方程:(2)x2-6x+8=0;(2)x2-6x+8=0.因式分解得(x-2)(x-4)=0,可得x-2=0或x-4=0,解得x1=2,x2=4.基础知识巩固高频考向探究例1选择最佳方法解下列关于x的方程:(3)x2-22x+2=0;(3)x2-22x+2=0.变形得x2-22x+(2)2=0,即(x-2)2=0,解得x=2.基础知识巩固高频考向探究例1选择最佳方法解下列关于x的方程:(4)-2x2+2x+1=0.(4)-2x2+2x+1=0.这里a=-2,b=2,c=1.∵Δ=4+8=120,∴x=-2±122×(-2)=1±32,则x1=1+32,x2=1-32.基础知识巩固高频考向探究【方法点析】配方法、公式法适合解所有的方程;直接开平方法适合解方程的左边是完全平方式,右边是非负数的方程;因式分解法适合解左边能分解因式,右边是0的方程.一般优先考虑使用直接开平方法和因式分解法,然后考虑使用公式法解方程.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·齐齐哈尔]解方程:x2+6x=-7.解:∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,∴(x+3)2=2,∴x+3=±2,∴x1=-3+2,x2=-3-2.基础知识巩固高频考向探究解:x(x-2)-(x-2)=0,分解因式得(x-2)(x-1)=0,即x-2=0或x-1=0,解得x1=2,x2=1.2.[2019·扬州改编]解方程:x(x-2)-(x-2)=0.基础知识巩固高频考向探究考向二运用一元二次方程根的判别式解题例2[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为()A.k≥0B.k≥0且k≠2C.k≥32D.k≥32且k≠2[答案]D[解析]∵原方程是一元二次方程,∴k-2≠0,∴k≠2.∵其有实数根,∴Δ=(-2k)2-4(k-2)·(k-6)≥0,解得k≥32.∴k的取值范围为k≥32且k≠2,故选D.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.判断一元二次方程x2-6x-7=0根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定[答案]B[解析]因为Δ=(-6)2-4×(-7)=640,所以有两个不相等的实数根.基础知识巩固高频考向探究2.[2018·威海]关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是.[答案]4[解析]∵关于x的一元二次方程有实数根,∴Δ=22-4(m-5)·2=4-8(m-5)≥0,且m-5≠0,解得m≤5.5且m≠5,∴m的最大整数解是4.基础知识巩固高频考向探究考向三运用一元二次方程根与系数的关系解题例3[2015·江西11题]已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,则m2-mn+n2=.25基础知识巩固高频考向探究【方法点析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=-𝑏𝑎,x1·x2=𝑐𝑎.解题时先把代数式变形成两根和与积的形式,注意前提是方程有两个实数根,即判别式大于或等于0.常见的变形:(1)x21+𝑥22=(x1+x2)2-2x1x2;(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(3)𝑥1𝑥2+𝑥2𝑥1=(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2016·江西5题]设α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根,则αβ的值是()A.2B.1C.-2D.-1[答案]D[解析]两根之积为αβ=𝑐𝑎=-1.故选D.基础知识巩固高频考向探究2.[2017·江西5题]已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根为x1,x2,下列结论正确的是()A.x1+x2=-52B.x1·x2=1C.x1,x2都是有理数D.x1,x2都是正数[答案]D[解析]根据根与系数的关系可知,x1+x2=52,x1·x2=12,选项A,B不正确;一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根为x1=5+174,x2=5-174,选项C不正确;因为x1=5+1740,x2=5-1740,所以选项D正确.故选D.基础知识巩固高频考向探究[答案]0[解析]∵x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,∴x1+x2=1,x1x2=-1,∴x1+x2+x1x2=1+(-1)=0.3.[2019·江西9题]设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2=.基础知识巩固高频考向探究4.[2014·江西10题]若α,β是方程x2-2x-3=0的两个根,则α2+β2=.5.[2013·江西12题]若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程:.10x2-5x+6=0(答案不唯一)基础知识巩固高频考向探究[答案]26.[2018·江西11题]一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则𝑥12-4x1+2x1x2的值为.[解析]∵x2-4x+2=0的两根为x1,x2,∴x1x2=2,𝑥12-4x1+2=0,即𝑥12-4x1=-2,∴𝑥12-4x1+2x1x2=-2+2×2=2.基础知识巩固高频考向探究考向四一元二次方程的应用例4[2019·南京]某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图8-2,原广场长50m,宽40m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?图8-2基础知识巩固高频考向探究解:设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm,依题意得3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长为90m,宽为60m.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?基础知识巩固高频考向探究解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.基础知识巩固高频考向探究1.[2019·长沙]近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导.据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?(2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.基础知识巩固高频考向探究262.[2018·盐城]一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元