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单元思维导图第5课时一次方程(组)及其应用【考情分析】高频考点年份、题号、分值题型2020年中考预测列方程(组)2013、9、3分填空题★解方程(组)2016、13(1)、3分解答题★一次方程(组)的应用2018、9、3分填空题★★★2016、19、8分解答题2014、16、6分解答题基础知识巩固高频考向探究1.方程:含有未知数的①.2.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值.3.一元一次方程的一般形式:②.4.二元一次方程的一般形式:③.6.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.考点一方程的有关概念等式ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)ax+by+c=0(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)5.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2=0,其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.考点聚焦基础知识巩固高频考向探究bc1.等式的基本性质:性质1:如果a=b,那么a±c④b±c;性质2:(1)如果a=b,那么ac=⑤;(2)如果a=b,c≠0,那么⑥=𝑏𝑐.考点二一次方程(组)的解法=𝒂𝒄基础知识巩固高频考向探究2.解一元一次方程的一般步骤(解方程过程中常会用到等式的性质):图5-1基础知识巩固高频考向探究3.二元一次方程组的解法:(1)思想:二元一次方程组一元一次方程.(2)方法:方法说明代入法适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况加减法在方程两边同乘一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)基础知识巩固高频考向探究考点三一次方程(组)的实际应用图5-2基础知识巩固高频考向探究【温馨提示】设未知数列方程是关键,求解时注意两点:(1)设适当的未知数;(2)题中各个量的单位.基础知识巩固高频考向探究1.[2017·杭州]设x,y,c是实数,下列结论正确的是()A.若x=y,则x+c=y-cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则𝑥𝑐=𝑦𝑐D.若𝑥2𝑐=𝑦3𝑐,则2x=3y题组一必会题对点演练B基础知识巩固高频考向探究2.[2019·怀化]一元一次方程x-2=0的解是()A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=13.[2019·天津]方程组3𝑥+2𝑦=7,6𝑥-2𝑦=11的解是()A.𝑥=-1,𝑦=5B.𝑥=1,𝑦=2C.𝑥=3,𝑦=-1D.𝑥=2,𝑦=12AD基础知识巩固高频考向探究4.数学文化[2019·襄阳]《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如下:今有人合伙买羊,每人出5钱,会差45钱;每人出7钱,会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,所列方程正确的是()A.5x-45=7x-3B.5x+45=7x+3C.𝑥+455=𝑥+37D.𝑥-455=𝑥-37B基础知识巩固高频考向探究5.[2017·舟山]若二元一次方程组𝑥+𝑦=3,3𝑥-5𝑦=4的解为𝑥=𝑎,𝑦=𝑏,则a-b=()A.1B.3C.-14D.74D6.[2019·常州]若𝑥=1,𝑦=2是关于x,y的二元一次方程ax+y=3的解,则a=.1基础知识巩固高频考向探究题组二易错题【失分点】去分母时出现漏乘常数项导致错误;利用加减法解二元一次方程组时,两方程相减时,出现符号错误.7.在解方程𝑥-12-1=3𝑥+13时,两边同时乘6,去分母后,正确的是()A.3x-1-6=2(3x+1)B.(x-1)-1=2(x+1)C.3(x-1)-1=2(3x+1)D.3(x-1)-6=2(3x+1)D基础知识巩固高频考向探究8.用加减消元法解方程组9𝑥-5𝑦=16,①2𝑥-𝑦=3②时,第一步:②×5,得10x-5y=15③;第二步:③-①,得x=1;第三步:把x=1代入②,得y=-1,则上述步骤中开始出现错误的是()A.第一步B.第二步C.第三步D.无法确定B基础知识巩固高频考向探究例1[2018·攀枝花]解方程:𝑥-32−2𝑥+13=1.考向一一元一次方程的解法解:去分母,得3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号,得3x-9-4x-2=6,移项,得3x-4x=6+9+2,合并同类项,得-x=17,系数化为1,得x=-17.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|解方程:𝑥-26+x=3𝑥-14.解:去分母,得2(x-2)+12x=3(3x-1),去括号,得2x-4+12x=9x-3,移项,得2x+12x-9x=-3+4,合并同类项,得5x=1,系数化为1,得x=15.基础知识巩固高频考向探究例2[2019·山西]解方程组:3𝑥-2𝑦=-8,𝑥+2𝑦=0.考向二二元一次方程组的解法解:3𝑥-2𝑦=-8,①𝑥+2𝑦=0,②①+②,得3x+x=-8+0,∴4x=-8,x=-2.把x=-2代入②,得-2+2y=0,∴y=1,∴原方程组的解为𝑥=-2,𝑦=1.基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·菏泽]已知𝑥=3,𝑦=-2是方程组𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=-3的解,则a+b的值是()A.-1B.1C.-5D.5[答案]A[解析]将𝑥=3,𝑦=-2代入𝑎𝑥+𝑏𝑦=2,𝑏𝑥+𝑎𝑦=-3,可得3𝑎-2𝑏=2,3𝑏-2𝑎=-3,两式相加,得a+b=-1.故选A.基础知识巩固高频考向探究2.[2016·江西13(1)题]解方程组:𝑥-𝑦=2,𝑥-𝑦=𝑦+1.解:𝑥-𝑦=2,①𝑥-𝑦=𝑦+1.②解法一:把①代入②,得2=y+1,解得y=1.把y=1代入①,得x-1=2,解得x=3.所以原方程组的解是𝑥=3,𝑦=1.基础知识巩固高频考向探究解法二:②-①,得0=y+1-2,解得y=1.把y=1代入①,得x=3.所以原方程组的解是𝑥=3,𝑦=1.基础知识巩固高频考向探究3.[2019·金华]解方程组:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,𝑥-2𝑦=1.解:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,①𝑥-2𝑦=1.②由①,得-x+8y=5.③②+③,得6y=6,解得y=1.把y=1代入②,得x-2×1=1.解得x=3.∴原方程组的解为𝑥=3,𝑦=1.基础知识巩固高频考向探究例3[2019·娄底]某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价与销售价如下表所示:求:(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利多少元?考向三一次方程(组)的构建与应用类别成本价(元/箱)销售价(元/箱)甲2535乙3548基础知识巩固高频考向探究解:(1)设购进甲种矿泉水x箱,则购进乙种矿泉水(500-x)箱,根据题意得25x+35(500-x)=14500,解得x=300,∴500-x=500-300=200.答:购进甲种矿泉水300箱,购进乙种矿泉水200箱.基础知识巩固高频考向探究(2)300×(35-25)+200×(48-35)=300×10+200×13=5600(元).答:商场售完这500箱矿泉水,可获利5600元.例3[2019·娄底]某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价与销售价如下表所示:求:(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利多少元?类别成本价(元/箱)销售价(元/箱)甲2535乙3548基础知识巩固高频考向探究|考向精练|1.[2019·杭州]已知九年级某班30位学生种树72棵,男生每人种3棵树,女生每人种2棵树.设男生有x人,则()A.2x+3(72-x)=30B.3x+2(72-x)=30C.2x+3(30-x)=72D.3x+2(30-x)=72D基础知识巩固高频考向探究2.数学文化[2019·德州]《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长多少尺.现设绳长x尺,木长y尺,则可列二元一次方程组为()A.𝑦-𝑥=4.5,𝑦-12𝑥=1B.𝑥-𝑦=4.5,𝑦-12𝑥=1C.𝑥-𝑦=4.5,12𝑥-𝑦=1D.𝑦-𝑥=4.5,12𝑥-𝑦=1B基础知识巩固高频考向探究3.数学文化[2018·江西9题]中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一,其中有一问题:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金几何?”译文:今有牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两.问牛、羊每头各值金多少?设牛、羊每头各值金x两、y两,依题意,可列出方程组为.𝟓𝒙+𝟐𝒚=𝟏𝟎,𝟐𝒙+𝟓𝒚=𝟖基础知识巩固高频考向探究4.[2014·江西16题]小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯.小锦买了20支笔和2盒笔芯,用了56元;小丽买了2支笔和3盒笔芯,仅用了28元.求每支中性笔和每盒笔芯的价格.解:设每支中性笔x元,每盒笔芯y元,根据题意,得20𝑥+2𝑦=56,2𝑥+3𝑦=28.解这个方程组,得𝑥=2,𝑦=8.答:每支中性笔2元,每盒笔芯8元.基础知识巩固高频考向探究5.[2019·烟台]亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量将增加4辆,并空出2个座位.(1)计划调配36座新能源客车多少辆?该大学共有多少名志愿者?(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?基础知识巩固高频考向探究解:(1)设计划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者.由题意,得36𝑥+2=𝑦,22(𝑥+4)-2=𝑦,解得𝑥=6,𝑦=218.∴计划调配36座新能源客车6辆,该大学共有218名志愿者.基础知识巩固高频考向探究5.[2019·烟台]亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量将增加4辆,并空出2个座位.(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?基础知识巩固高频考向探究(2)设36座和22座两种车型各需m辆、n辆.由题意,得36m+22n=218,且m,n均为非负整数,经检验,只有𝑚=3,𝑛=5符合题意.∴36座和22座两种车型各需3辆、5辆.基础知识巩固高频考向探究6.[2016·江西19题]如图5-3是一根可伸缩的鱼竿,鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成,闲置时鱼竿可收缩,完全收缩后,鱼竿的长度即为第1节套管的长度(如图①所示),使用时,可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示),图③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图.已知第1节套管长50cm,第2节套管长46cm,以此类推,每一节套管都比前一节套管少4cm,完全拉伸时,为了使相邻两节套管连接并固定,每相邻两节套管间均有相同长度的重叠,设其长度为xcm.(1)请直接写出第5节套管的长度;(2)当这根鱼竿完全拉伸时,其长度为311cm,求x的值.图5-3基础知识巩固高频考向探究解:(1)第5节套管的长度是34cm.(注:50-(5-1)×4=34).基础知识巩固高频考向探究6.[2016·江西19题]如图5-3是一根可伸缩的鱼竿,鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成,闲置时鱼竿可收缩,完全收缩后,鱼竿的长度即为第1节套管的长度(如图①所示),使用时,可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示),图③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图.已知第1节套管长50cm,第2节套管长46cm,以此类推,每一节套管都比前一