双曲线考点与题型归纳

双曲线考点与题型归纳一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca＝1＋b2a2∈(1，＋∞)e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c的关系a2＝c2－b2二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a，也叫通径．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.考点一双曲线的标准方程[典例](1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的标准方程是()A.7x216－y212＝1B.y23－x22＝1C．x2－y23＝1D.3y223－x223＝1(2)(2018·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1[解析](1)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得4a2－9b2＝1，ba＝3，解得a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得9a2－4b2＝1，ab＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y＝3x中的x＝2时，y＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得4a2－9b2＝1，ba＝3，解得a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即y3＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.(2)法一：如图，不妨设A在B的上方，则Ac，b2a，Bc，－b2a.又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝bc－b2＋bc＋b2a2＋b2＝2bcc＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝ca＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝3.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，所以ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，所以a2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x23－y29＝1，故选C.[答案](1)C(2)C[题组训练]1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y2＝1B.x23－y22＝1C．x2－y24＝1D.x22－y23＝1解析：选A由题意可得|PF1|－|PF2|＝2a＝4b，c2＝a2＋b2，2c＝25，解得a2＝4，b2＝1，则该双曲线的标准方程为x24－y2＝1.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为()A.x24－y216＝1B．x2－y24＝1C.x22－y23＝1D．x2－y26＝1解析：选A因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为5，可得ca＝5，c＝25，所以b＝c2－a2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x24－y216＝1.3．经过点P(3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,27)，Q(－62，7)，所以9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125.故所求双曲线方程为y225－x275＝1.答案：y225－x275＝1考点二双曲线定义的应用考法(一)利用双曲线的定义求双曲线方程[典例]已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x22－y214＝1(x≥2)B.x22－y214＝1(x≤－2)C.x22＋y214＝1(x≥2)D.x22＋y214＝1(x≤－2)[解析]设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，所以|MC1|－|MC2|＝22＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝22的双曲线的右支上，即a＝2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1(x≥2)．[答案]A[解题技法]利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二)焦点三角形问题[典例]已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8[解析]由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.[答案]B[解题技法]在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sinθ，|||PF1|－|PF2|＝2a及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S△PF1F2＝12·2c·|y0|来解决．[题组训练]1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A.x24－y25＝1(y0)B.x24－y25＝1(x0)C.y24－x25＝1(y0)D.y24－x25＝1(x0)解析：选B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为x2a2－y2b2＝1(x0，a0，b0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为x24－y25＝1(x0)．2．已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24C．12D．6解析：选B由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝24.考点三双曲线的几何性质考法(一)求双曲线的离心率(或范围)[典例](2018·长春二测)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是()A.53，2B.1，53C．(1,2]D.53，＋∞[解析]由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得2a3≥c－a，解得ca≤53，即e≤53，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为1，53，故选B.[答案]B[解题技法]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消b求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．考法(二)求双曲线的渐近线方程[典例](2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C：x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆x225＋y216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0D．4x±5y＝0或5x±4y＝0[解析]由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝1－b2a2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n2m2＝53，∴nm＝43，∴双曲线的渐近线方程为y＝±nmx＝±43x，即4x±3y＝0.故选A.[答案]A[解题技法]求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2－y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2－x2b2＝0，得y＝±abx.反之，已知渐近线方程为y＝±bax，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A．1B.3C．2D．23解析：选C由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为bca2＋b2＝b＝3，即c2－a2＝3，又e＝ca＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.2．已知直线l是双曲线C：x22－y24＝1的一条渐近线，P是直线l上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若PF1―→·PF2―→＝0，则点P到x轴的距离为()A.233B.2C．2D.263解析：选C由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，不妨设直线l的方程为y＝2x，设P(x0，2x0)．由PF1―→·PF2―→＝(－6－x0，－2x0)·(6－x0，－2x0)＝3x20－6＝0，得x0＝±