上海市2020届初三数学一模提升题汇编第24题(二次函数综合)

【2020长宁金山一模】24.（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线nmxxy231经过点)1,6(B、)0,5(C，且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作OAPQ，交线段OA的延长线于点Q，如果45PAB，求证：PQAΔ∽ACBΔ；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F恰好在上述抛物线上，求FF的长．（长宁金山）24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）∵抛物线nmxxy231过点)1,6(B、)0,5(C∴055311663122nmnm∴538nm（2分）∴538312xxy（1分）令0x得5y，∴点A的坐标为)5,0(（1分）（2）∵)5,0(A，)1,6(B，)0,5(C∴25AC，2BC，132AB∴222BCACAB∴90ACB又∵OAPQ∴90PQA∴ACBPQA（1分）∵)5,0(A，)0,5(C∴OCOA，∵90AOC∴45OCAOAC（1分）∵180CAOBACPABQAP，45PAB第24题图yxCABO∴90BACQAP∵90BACABC∴ABCQAP（1分）∴PQAΔ∽ACBΔ（1分）（3）设点B是点B关于直线AC的对称点，则2BCCB，90ACBBAC过点B作xBG轴，垂足为点G∵90OCACOB，45OCA，∴45COB∴1GCGB∴），（1-4B（1分）∵点F同时在线段BA与抛物线上，∴设)53831,(F2xxx分别过点F，B作轴yHF，轴yHB，垂足分别为H、H，则HBH//F∴HAAHHBHFBAFA即6313842xxx∴27x（1分）又∵ACFF，ACBB∴B//BFF∴BBFFBAFA∴87427HBHFBBFF（1分）∵222BCBB∴8722FF∴247FF（1分）【2020杨浦一模】已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx4m0与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB=6.（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y轴上取点E（0,2），点F为第一象限内抛物线上一点，联结BF、EF，如果S四边形OEFB10，求点F的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F在抛物线对称轴右侧，点P在x轴上且在点B左侧，如果直线PF与y轴的夹角等于∠EBF，求点P的坐标.（杨浦）24．解：（1）抛物线对称轴212mxm-=-=.....................................................（1分）∵AB=6，∴抛物线与x轴的交点A为(20)，-，B(40)，...................................................（1分）∴4440mm++=（或16840mm-+=）..................................................................（1分）∴12m=-.∴抛物线的表达式为2142yxx=-++.......................................................（1分）（2）设点F21(4)2xxx，-++........................................................................................（1分）∵点E02（，），点B4（，0），∴OE=2，OB=4.∵=+10OEFOBFOEFBSSS四边形，∴211124(4)10222xxx......................（1分）∴12x或，∴点F912（，）、24（，）..................................................................................（2分）（3）∵=+10OBEBEFOEFBSSS四边形，又1142422OBESOBOE，∴6BEFS.过F作FHBE，垂足为点H.∵162BEFSBEFH，又222425BE，∴655FH................................（1分）又22(24)(40)25BF，∴855BH.∴在RtBFH中，tan∠EBF=65358455FHBH....................................................................（1分）设直线PF与y轴的交点为M，则∠PMO=∠EBF，过F作FGx轴，垂足为点G.∵FG//y轴，∴∠PMO=∠PFG.∴tan∠PFG=tan∠EBF.....................................................（1分）∴tan∠PFG=34PGFG.又FG=4，∴PG=3.∴点P的坐标10（-，）............................................................................................................（1分）【2020徐汇一模】24．（本题满分12分）如图，将抛物线4342xy平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，4tanB，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分DCA，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线4342xy沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当DEF和ABC相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．（第24题图）ADCBOxy（徐汇）24．解：（1）由题意，设新抛物线的表达式为4342bxxy．∵抛物线4342xy的顶点为C，∴)4,0(C，4OC；在BOCRt中，90BOC，∴4tanOBOCB，得1OB；∴)0,1(B；由题意，得0434b，解得38b；∴新抛物线的表达式为438342xxy；∴)316,1(D．（2）由题意，可得)0,3(A；过点D作OCDM，垂足为M．∴)316,0(M；∴4,3,34,1COAOCMDM；∴43COAOCMDM；又90AOCDMC，∴DMC∽AOC，∴ACODCM；∵CE平分DCA，∴ACEDCE；∴180)(2DCEDCM；∴AOCMCE90；∴AOCE//；∴点E与点C关于直线1x对称；∴)4,2(E．（3）有两种情况满足要求，平移后所得抛物线的表达式为：4)32(342xy或4)121(342xy【2020松江一模】24．（本题满分12分,第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(3,0)，点B（0,3）.点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP=∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值.24.解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(3,0)，点B（0,3）.∴3,930.cbc………………………………（1分）∴b=2，c=3………（1分）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3………（1分）（2）∵PM⊥x轴∴PM∥y轴∴∠OBP=∠BPQ∵∠BOP=∠PBQ∴△OBP∽△BPQ………………（1分）∴OBBPBPPQ∴2BPOBPQ………（1分）∴22(2)3(2+3+3)mmmm即222-39mmm解得95m(m=0舍去)………（1分）5425PQ………（1分）(3)当QP=QP时（第24题备用图）yxOBA（第24题图）yxOBAPMQ（第24题图）yxOBAPMQ点Q(2,3)此时m=2………（1分）当BQ=BP时，点Q（1,4）此时m=1………（2分）当PB=PQ时22233mmmm32m………（2分）【2020青浦一模】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．24．解：（1）∵A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2，∴点B的坐标为（3，0）····（1分）将A（1，0）、B（3，0）代入2+yxbxc，得10930.，bcbc解得：43.，bc·························································（2分）所以，243yxx．yxCBAOyxCBAO当x=2时，2242+3=1y∴顶点坐标为（2，-1）·················································································（1分）．（2）过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M．∵∠CON=90°，∴四边形CONM为矩形．∴∠CMN=90°，CO=MN．∵243yxx，∴点C的坐标为（0，3）····················································（1分）．∵B（3，0），∴OB=OC．∵∠COB=90°，∴∠OCB=∠BCM=45°，····················（1分）．又∵∠ACB=∠PCB，∴∠OCB-∠ACB=∠BCM-∠PCB，即∠OCA=∠PCM．······（1分）．∴tan∠OCA=tan∠PCM．∴13PMMC．设PM=a，则MC=3a，PN=3-a．∴P（3a，3-a）．·······························································································（1分）将P（3a，3-a）代入243yxx，得231233aaa．解得111=9a，2=0a（舍）．∴P（113，169）．····················································（1分）（3）设抛物线平移的距离为m．得221yxm，∴D的坐标为（2，1m）．·····················································································（1分）过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ的延长线于点F．∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，∴