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第2讲带电粒子在匀强磁场中的运动知识排查洛伦兹力、洛伦兹力的方向和大小1.洛伦兹力：磁场对__________的作用力叫洛伦兹力。2.洛伦兹力的方向(1)判定方法：左手定则：掌心——磁感线_______穿入掌心；四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的_________；拇指——指向__________的方向。(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的__________。运动电荷垂直反方向洛伦兹力平面(1)v∥B时，洛伦兹力F＝____。(θ＝0°或180°)(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝______。(θ＝90°)(3)v＝0时，洛伦兹力F＝____。3.洛伦兹力的大小0qvB0带电粒子在匀强磁场中的运动图11.若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做___________运动。2.若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做___________运动。如图1，带电粒子在磁场中，①中粒子做___________运动，②中粒子做___________运动，③中粒子做___________运动。匀速直线匀速圆周匀速圆周匀速直线匀速圆周3.半径和周期公式：(v⊥B)小题速练1.思考判断(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。()(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。()(3)根据公式T＝2πrv，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。()(4)粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。()(5)由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。()(6)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√答案B2.[人教版选修3－1P98第1题改编]下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是()图2A.向上偏转B.向下偏转C.向纸内偏转D.向纸外偏转3.[人教版选修3－1P95插图改编]在阴极射线管中电子流方向由左向右，其上方置一根通有如图2所示电流的直导线，导线与阴极射线管平行，则阴极射线将会()解析由题意可知，直线电流的方向由左向右，根据安培定则，可判定直导线下方的磁场方向为垂直纸面向里，而阴极射线电子运动方向由左向右，由左手定则知(电子带负电，四指要指向其运动方向的反方向)，阴极射线将向下偏转，故B选项正确。答案B对洛伦兹力的理解1.洛伦兹力的特点(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。(4)洛伦兹力一定不做功。2.洛伦兹力与电场力的比较洛伦兹力电场力产生条件v≠0且v不与B平行电荷处在电场中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向与场方向的关系一定是F⊥B，F⊥v正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反做功情况任何情况下都不做功可能做正功、负功，也可能不做功作用效果只改变电荷的速度方向，不改变速度大小既可以改变电荷的速度大小，也可以改变运动的方向图3【例1】带电粒子以初速度v0从a点垂直y轴进入匀强磁场，如图3所示，运动中粒子经过b点，Oa＝Ob。若撤去磁场加一个与y轴平行的匀强电场，仍以v0从a点垂直y轴进入电场，粒子仍能过b点，那么电场强度E与磁感应强度B之比为()A.v0B.1C.2v0D.v02答案C解析带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，O为圆心，故Oa＝Ob＝mv0qB，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，故Ob＝v0t，Oa＝qE2mt2，联立以上各式解得EB＝2v0，故选项C正确。带电粒子在匀强磁场中的运动1.带电粒子在匀强磁场中圆周运动分析(1)圆心的确定方法方法一若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图4(a)；方法二若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图(b)。图4(2)半径的计算方法方法一由公式求：半径R＝mvqB；方法二由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。(3)时间的计算方法方法一由圆心角求：t＝θ2π·T；方法二由弧长求：t＝sv。(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图5所示)。2.带电粒子在不同边界磁场中的运动图5(2)平行边界(存在临界条件，如图6所示)。(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图7所示)。图6图7图8【例2】(2019·金坛四中期中)如图8所示，在半径为R＝mv0Bq的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，从圆弧顶点P以速率v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计。r＝R(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；(2)若粒子对准圆心射入，且速率为3v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；(3)若粒子以速度v0从P点以任意角入射，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上。解析(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，由牛顿第二定律得Bqv0＝mv20r带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为π2，如图甲所示，则t＝π2Rv0＝πm2Bq其运动轨迹如图乙所示，由图可知∠PO2O＝∠OO2D＝30°所以带电粒子离开磁场时偏转原来方向60°(2)由(1)知，当v＝3v0时，带电粒子在磁场中运动的轨道半径为3R乙v⊥＝vsin60°＝32v0(3)由(1)知，当带电粒子以v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R。设粒子射入方向与PO方向夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子运动轨迹如图丙所示。因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R所以四边形POSO3为菱形由图可知：PO∥O3S因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关。丙答案(1)πm2Bq(2)32v0(3)见解析带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解模型类型分析图例带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b磁场方向不确定在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b临界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，往往运动具有周期性，因而形成多解图9【例3】某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图9所示。装置的长为L，上、下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d。装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子的重力。(1)求磁场区域的宽度h；(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值。解析(1)设粒子在磁场中的轨道半径为r，画出带电粒子的运动轨迹如图所示。由几何关系得L＝3rsin30°＋3·d2/tan30°①又由h＝r(1－cos30°)②(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′，则有联立①②解得：h＝(23L－3d)(1－32)③qvB＝mv2r及qv′B＝mv′2r′④又由几何关系得3rsin30°＝4r′sin30°⑤联立④⑤解得Δv＝v－v′＝qBm(L6－34d)⑥(3)设粒子经过磁场n次，则由几何关系得L＝(2n＋2)rnsin30°＋(2n＋2)d2/tan30°⑦又由qvnB＝mv2nrn，⑧解得vn＝qBm(Ln＋1－3d)(1≤n3L3d－1，n取整数)⑨答案(1)(23L－3d)(1－32)(2)qBm(L6－34d)(3)qBm(Ln＋1－3d)(1≤n＜3L3d－1，n取整数)科学思维的培养——带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题图101.常见三种临界模型草图(如图10所示)从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的条件。如：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长；(4)直径是圆的最大弦。2.分析临界问题时应注意图11【典例】(2018·江苏南京、盐城第一次模拟)如图11所示，半径为r的圆形区域内有平行于纸面的匀强偏转电场，电场与水平方向成60°角，同心大圆半径为3r，两圆间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，带电荷量为＋q的粒子经电场加速后恰好沿磁场边界进入磁场，经磁场偏转恰好从内圆的最高点A处与电场方向垂直进入电场，并从最低点C处离开电场。不计粒子的重力。求：(1)该粒子从A处进入电场时的速率；(2)偏转电场的场强大小；(3)使该粒子不进入电场并在磁场中做完整的圆周运动，加速电压的取值范围。解析(1)连结磁场外边界入射点D与内边界出射点A。即为粒子做圆周运动的弦，弦的垂直平分线过圆心O′，即粒子运动的圆心，由几何关系知α＝30°，所以圆心角为120°。带电粒子以速率v进入磁场经13T的时间从内圆最高A点处进入电场由几何关系得r＝Rcos30°(2)带电粒子进入电场做类平抛运动。Bqv＝mv2R则R＝23r3得v＝23rBq3m2rcos60°＝vt(3)带电粒子经加速电场获得一定动能进入磁场。2rsin60°＝Eqt22m得E＝83B2qr3m使该粒子不进入电场并在磁场中做完整的圆周运动，经分析R有三种临界值。讨论：U加q＝12mv2Bqv＝mv2RU加＝B2qR22m①R1＝3rv1＝Bqm3rU加1＝3B2qr22m②R2＝3＋12rv2＝Bqm·3＋12rU加2＝2＋3B2qr24m加速电压的取值范围：③R3＝3－12rv3＝Bqm·3－12rU加3＝2－3B2qr24mU加∈0，（2－3）B2qr24m和U加∈（2＋3）B2qr24m，3B2qr22m答案(1)23rBq3m(2)83B2qr3m(3)U加∈0，（2－3）B2qr24m和U加∈（2＋3）B2qr24m，3B2qr22m解决带电粒子的临界问题的方法数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。