搜索
第一节加法原理与乘法原理1.分类加法计数原理2.分步乘法计数原理3.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数教材研读考点一加法原理考点二乘法原理考点突破考点三加法原理与乘法原理的综合应用 1.分类加法计数原理完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=①m1+m2+…+mn种不同的方法.教材研读2.分步乘法计数原理完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=②m1·m2·…·mn种不同的方法.3.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. 1.(教材习题改编)用4种不同的颜色给如图所示的地图上色,要求相邻的两块涂不同的颜色,共有多少种不同的涂法? 解析第一步,填涂①,有4种不同的颜色供选用;第二步,填涂②,有3种不同的颜色可选用;第三步,填涂③,有2种不同的颜色可选用;第四步,填涂④,除②、③用过的2种颜色外,还有2种不同的颜色可选用,所以完成这件事共有4×3×2×2=48种不同的方法.2.设集合A={1,2,3,4,5},a,b∈A,则方程 + =1表示的椭圆中焦点在y轴上的有多少个?2xa2yb解析若方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,则有ba0,故b有2,3,4,5这4种不同的选法.当b=2时,a有1种选法;当b=3时,a有2种选法;当b=4时,a有3种选法;当b=5时,a有4种选法.故满足题意的椭圆共有1+2+3+4=10个.2xa2yb考点一加法原理典例1如图,共有多少个不同的三角形? 考点突破解析所有不同的三角形可分为三类:第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个;第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个;第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个.由分类计数原理得,共有5+20+10=35个不同的三角形.方法技巧所谓“完成一件事,有n类方案”是指对完成这件事情的所有方案的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次要注意满足一个基本要求:完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这些条件时,才可以用分类加法计数原理.1-1(2018徐州铜山高二调研)方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在这些方程所表示的所有曲线中,不同的抛物线共有条.答案62解析方程变形为y= x2+ ,若方程表示抛物线,则a≠0,b≠0,故分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)当b=-3时,a=-2,c=0,1,2,3或a=1,c=-2,0,2,3或a=2,c=-2,0,1,3或a=3,c=-2,0,1,2.(2)当b=3时,a=-2,c=0,1,2,-3或a=1,c=-2,0,2,-3或a=2,c=-2,0,1,-3或a=-3,c=-2,0,1,2.以上两种情况有9条重复,故共有16+7=23条.(3)同理当b=-2或2时,共有16+7=23条.2baca(4)当b=1时,a=-3,c=-2,0,2,3或a=-2,c=-3,0,2,3或a=2,c=-3,-2,0,3或a=3,c=-3,-2,0,2,综上,共有23+23+16=62条.考点二乘法原理典例2用五种不同的颜色给图中四个区域涂色,每个区域涂一种颜色.(1)共有多少种不同的涂色方法?(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色,则共有多少种不同的涂色方法?1234解析(1)每一个区域都有5种不同的涂色方法,所以涂完四个区域共有5×5×5×5=625种不同的涂色方法.(2)若2号,4号区域同色,则有5×4×4=80种不同的涂色方法;若2号,4号区域异色,则有5×4×3×4=240种不同的涂色方法.所以共有80+240=320种不同的涂色方法.方法技巧用分步乘法计数原理计算排列数时,必须注意三个方面:(1)在题设条件的制约下,明确每一步哪些元素可取,哪些元素不可取;(2)在某一步确定后,下一步可取元素的个数应视具体情况而定;(3)若某一步必须分类,则分类后各步都必须按类分别计算.2-1(2017常州“12校合作联盟”期末)如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法有. 答案72种解析分两种情况:(1)A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D有1种,有4×3×2=24种;(2)A,C同色,先涂A,C有4种,再涂E有3种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48种.故不同的涂色方法有48+24=72种.考点三加法原理与乘法原理的综合应用典例3我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”,例如123就是一个“吉祥数”,则这样的吉祥数一共有个.答案21解析若3个数字相同,有1个“吉祥数”:222;若2个数字相同,数字组有3种,即114、033、006,构成的“吉祥数”有3+2+1=6个;若3个数字都不相同,数字组有3种,即123、015、024,构成的“吉祥数”有3×2×1+2×2×1+2×2×1=14个.由加法计数原理可得这样的“吉祥数”一共有1+6+14=21个.方法技巧分类计数原理和分步计数原理在大多数情况下是结合使用的,根据问题的特点,一般是先分类再分步,在某些复杂的情况下,也可先分步再分类.分类要“不重不漏”,分步要“连续完整”.3-1某城市市中心广场有一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻的部分不能栽种同样颜色的花,则不同的栽种方法共有多少种(用数字作答)? 解析从相同颜色的花的位置入手分类求解.(1)若2与5同色,则3,6或4,6同色,则共有4×3×2×1×2=48种不同的栽种方法;(2)若3与5同色,则2,4或4,6同色,则共有4×3×2×1×2=48种不同的栽种方法;(3)若2与4同色且3与6同色,则共有4×3×2×1=24种不同的栽种方法.综上,共有48+48+24=120种不同的栽种方法.考点突破