（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.4 解三角形课件

§4.4解三角形高考数学(江苏省专用)A组自主命题·江苏卷题组五年高考考点一正弦定理与余弦定理1.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cosB= ,C= .(1)求AB的长;(2)求cos 的值.4546A解析(1)因为cosB= ,0Bπ,所以sinB= = = .由正弦定理知 = ,所以AB= = =5 .(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos =-cosBcos +sinB·sin ,又cosB= ,sinB= ,故cosA=- × + × =- .因为0Aπ,所以sinA= = .因此,cos =cosAcos +sinAsin =- × + × = .4521cosB241535sinACBsinABCsinsinACCB2623524B4445354522352221021cosA72106A662103272101272620评析本题主要考查正(余)弦定理、同角三角函数基本关系与两角和(差)的三角函数,考查运算求解能力.2.(2015江苏,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3× =7,所以BC= .(2)解法一:由正弦定理知, = ,所以sinC= ·sinA= = .因为ABBC,所以C为锐角,则cosC= = = .因此sin2C=2sinC·cosC=2× × = .解法二:由余弦定理得cosC= = ,因为C∈(0,π),所以sinC= = ,因此sin2C=2sinCcosC=2× × = .127sinABCsinBCAABBC2sin60721721sinC3172772172774372222BCACABBCAC27721cosC217217277437考点二解三角形及其综合应用1.(2019江苏,15,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b= ,cosB= ,求c的值;(2)若 = ,求sin 的值.223sinAacos2Bb2B解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分.(1)因为a=3c,b= ,cosB= ,由余弦定理得cosB= ,得 = ,即c2= .所以c= .(2)因为 = ,由正弦定理 = ,得 = ,所以cosB=2sinB.从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B= .因为sinB0,所以cosB=2sinB0,从而cosB= .因此sin =cosB= .2232222acbac23222(3)(2)23cccc1333sinAacos2BbsinaAsinbBcos2BbsinBb452552B2552.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度. 7解析(1)由正棱柱的定义,知CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10 ,AM=40,所以MC= =30,从而sin∠MAC= .记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1= =16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm) (2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.72240(107)3411sinPQMAC 由正棱台的定义,知OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1= =24,从而GG1= = =40.62142221KGGK222432设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sinα=sin =cos∠KGG1= .因为 απ,所以cosα=- .在△ENG中,由正弦定理可得 = ,解得sinβ= .因为0β ,所以cosβ= .于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= × + × = .记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2= =20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)12KGG4523540sinα14sinβ72522425452425357253522sinPQNEG考点一正弦定理与余弦定理B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2019课标全国Ⅰ文改编,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=- ,则 =.14bc答案6解析本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.由正弦定理及asinA-bsinB=4csinC得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cosA= = =- .所以 =6.2222bcabc232cbc14bc2.(2019浙江,14,6分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.答案 ; 12257210解析本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长度和角度的计算体现了数学运算的核心素养.在△BDC中,BC=3,sin∠BCD= ,∠BDC=45°,由正弦定理得 = ,则BD= = ,在△ABD中,sin∠BAD= ,cos∠BAD= ,∠ADB=135°,∴cos∠ABD=cos[180°-(135°+∠BAD)]=cos(45°-∠BAD)=cos45°cos∠BAD+sin45°sin∠BAD=  = . 45sinBDBCDsinBCBDC43522122535452243557210思路分析在△BCD中,由正弦定理求BD的值;cos∠ABD的值可通过两角差的余弦公式求解.解题反思三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法.3.(2019课标全国Ⅱ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.答案 π34解析本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.在△ABC中,由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0,∵sinA≠0,∴sinB+cosB=0,即tanB=-1,又B∈(0,π),∴B= π.344.(2018课标全国Ⅱ理改编,6,5分)在△ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB=.2C55答案4 2解析本题考查二倍角公式和余弦定理.∵cos = ,∴cosC=2cos2 -1=2× -1=- ,又∵BC=1,AC=5,∴AB= = =4 .2C552C1535222cosBCACBCACC3125215525.(2018课标全国Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.答案 233解析本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.由已知条件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinA·sinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA= ,又b2+c2-a2=8,∴cosA= = ,∴cosA0,∴cosA= ,即 = ,∴bc= ,∴△ABC的面积S= bcsinA= × × = .122222bcabc4bc324bc32833121283312233解题关键正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sinA是解决本题的关键.6.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=2,A=60°,则sinB=,c=.7答案 ;3217解析本题考查正弦定理、余弦定理.由 = 得sinB= sinA= ,由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).sinaAsinbBba2177.(2017课标全国Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= ,c=3,则A=.6答案75°解析由正弦定理得 = ,∴sinB= ,又∵cb,∴B=45°,∴A=75°.3sin606sinB22易错警示本题求得sinB= 后,要注意利用cb确定B=45°,从而求得A=75°.22方法总结已知两条边及其中一条边的对角解三角形,常用正弦定理进行求解.8.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.答案60°解析解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinC·cosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b· =a· +c· ,即b· =b,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB= ,又0°B180°,所以B=60°.2222acbac2222abcab2222bcabc222acbac12思路分析利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.方法总结当给出的条件为含有边角的三角等式时,常用的基本方法是利用正弦定理或余弦定理将边角统一后进行求解.若等式两边均含有边的一次式或角的正弦的一次式,通常应用正弦定理进行转化;若等式两边含有角的余弦的一次式或边的平方式,通常应用余弦定理进行转化.9.(2017课标全国Ⅰ文改编,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c= ,则C=.2答案 6解析本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC中,sinB=sin(A+C),则sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A= π.由 = 得 = ,∴sinC= ,又0C ,∴C= .34sinaAsincC2222sinC1246方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sinB=sin(A+