（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.3 三角函数的图象和性质课件

§4.3三角函数的图象和性质高考数学(江苏省专用)A组自主命题·江苏卷题组五年高考1.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ) 的图象关于直线x= 对称,则φ的值是.22φ3答案- 6解析本题考查正弦函数的图象和性质.∵函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x= 对称,∴x= 时,函数取得最大值或最小值,∴sin =±1.∴ +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ- (k∈Z),又- φ ,∴φ=- .3323φ2326226方法提炼函数y=Asin(ωx+φ)+B(A0,ω0)的性质:(1)ymax=A+B,ymin=-A+B.(2)最小正周期T= ;(3)由ωx+φ= +kπ(k∈Z)求对称轴;(4)由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)求单调增区间;由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)求单调减区间.2ω2222322.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是.答案7解析解法一:在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=cosx在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点. 解法二:由sin2x=cosx⇒cosx=0或sinx= ,因为x∈[0,3π],所以x= , , , , , , ,故两函数图象的交点个数是7.12232526561361763.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,- ),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.3解析(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,- ),a∥b,所以- cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=- .又x∈[0,π],所以x= .(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,- )=3cosx- sinx=2 cos .因为x∈[0,π],所以x+ ∈ ,从而-1≤cos ≤ .于是,当x+ = ,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+ =π,即x= 时,f(x)取到最小值-2 .3333563336x67,666x32666563考点一三角函数的图象及其变换B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018天津文改编,6,5分)将函数y=sin 的图象向右平移 个单位长度,则下列说法正确的是.①所得图象对应的函数在区间 上单调递增②所得图象对应的函数在区间 上单调递减③所得图象对应的函数在区间 上单调递增④所得图象对应的函数在区间 上单调递减25x10,44,04,42,2答案①解析本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质.将y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin =sin2x,当2kπ- ≤2x≤2kπ+ (k∈Z),即kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,y=sin2x单调递增,令k=0,得x∈ ,所以y=sin2x在 上单调递增.25x102105x2244,44,44易错警示在进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行怎样的变换都是对自变量本身而言的.另外,要注意变换前后两个函数的函数名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数.2.(2017课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin ,则下面结论正确的是(填序号).①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2;②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2;③把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2;④把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2.223x6121261212答案④解析本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.首先利用诱导公式化异名为同名.y=sin =cos =cos =cos ,由y=cosx的图象得到y=cos2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变;由y=cos2x的图象得到y=cos 的图象,需将y=cos2x的图象上的各点向左平移 个单位长度.故填④.223x2232x26x212x12212x12方法总结(1)三角函数图象变换:①伸缩变换:将y=sinx图象上的各点的横坐标变为原来的ω倍,纵坐标不变,可得到y=sin 的图象;将y=sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asinx的图象.②平移变换:函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x的变化量.(2)解决三角函数图象变换的题时,若两函数异名,则通常利用sinx=cos 和cosx=sin 将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.1xω2x2x3.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点向平移个单位长度.23x答案右; 6解析将y=sin2x的图象向右平行移动 个单位长度得到y=sin =sin 的图象.626x23x解后反思将y=sin 化为y=sin 是解题的关键.23x26x4.(2016课标全国Ⅰ改编,6,5分)将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数为.26x14答案y=2sin 23x解析该函数的周期为π,将其图象向右平移 个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin 2 +  =2sin .44x623x易错警示三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x- ,而不是将2x变为2x- .44评析本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.5.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sinx- cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到.3答案 3解析函数y=sinx- cosx=2sin 的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移 个单位长度得到.33x3评析本题考查了三角函数的图象平移及两角差的正弦公式的逆用,属于中档题.考点二三角函数的性质及其应用1.(2019北京理,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是.答案 2解析本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数的最小正周期;考查学生的运算求解能力.考查的核心素养为数学运算.因为f(x)=sin22x,所以f(x)= (1-cos4x),所以函数f(x)的最小正周期T= = .122422.(2019天津理改编,7,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g = ,则f =.4238答案 2解析本题主要考查三角函数的图象和性质,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力.∵f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,∴φ=kπ,k∈Z,又|φ|π,∴φ=0,∴f(x)=Asinωx,则g(x)=Asin .由g(x)的最小正周期T=2π,得 = =1,∴ω=2.又g =Asin = A= ,∴A=2,∴f(x)=2sin2x,∴f =2sin = .2ωx2ω2T4422238342方法总结1.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);若f(x)为偶函数,则φ=kπ+ (k∈Z);22.若函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A0,ω0)为奇函数,则φ=kπ+ (k∈Z);若f(x)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).223.(2019课标全国Ⅱ理改编,9,5分)下列函数中,以 为周期且在区间 单调递增的是.①f(x)=|cos2x|;②f(x)=|sin2x|;③f(x)=cos|x|;④f(x)=sin|x|.,42答案①解析本题考查三角函数的图象与性质;通过三角函数的周期性和单调性考查运算求解能力以及数形结合思想;考查的核心素养为逻辑推理、数学运算.对于①,作出f(x)=|cos2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在 上单调递增,且最小正周期T= ,故①正确.对于②,作出f(x)=|sin2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在 上单调递减,且最小正周期T= ,故②不正确.对于③,∵f(x)=cos|x|=cosx,∴最小正周期T=2π,故③不正确.对于④,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故④不正确.图1 ,422,422 图2 图3方法点拨1.y=f(x)的图象的翻折变换:(1)y=f(x) y=f(|x|);(2)y=f(x) y=|f(x)|.2.求三角函数的最小正周期:(1)形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),则最小正周期T= .(2)形如y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,则最小正周期T= .2||ω||ω4.(2019课标全国Ⅰ理改编,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)在区间 单调递增③f(x)在[-π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是.,2答案①④解析本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象与性质;考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理.f(x)的定义域为(-∞,+∞),f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),故f(x)是偶函数,①正确;当x∈ 时,f(x)=sinx+sinx=2sinx单调递减,②不正确;当x∈[0,π]时,sinx≥0,f(x)=2sinx有两个零点,当x∈[-π,0)时,f(x)=-2sinx仅有一个零点,故③不正确;当x≥0时,f(x)=sinx+|sinx|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在R上的最大值为2,④正确.综上,①④正确,②③不正确.,2名师点拨本题背景熟悉,方法常规,但对学生的知识储备要求较高.每个结论考查的侧重点各不相同,很难通过一个性质排除所有错误结论.5.(2019课标全国Ⅲ理改编,12,5分)设函数f(x)=sin (ω0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在 单调递增④ω的取值范围是 其中所有正确结论的编号是.5ωx0,101229,510答案①③④解析本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等