（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.2 三角恒等变换课件

§4.2三角恒等变换高考数学(江苏省专用)A组自主命题·江苏卷题组五年高考1.(2019江苏,13,5分)已知 =- ,则sin 的值是.tantan4αα2324α答案 210解析本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式等知识,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.∵ =- ,∴tanα=- tan =- · ,整理得3tan2α-5tanα-2=0,∴tanα=- 或tanα=2.sin = (sin2α+cos2α)= · = · .当tanα=- 时,sin = ;tantan4αα23234α231tan1tanαα1324α222222222sincoscossincossinαααααα22222tan1tan1tanααα1324α210当tanα=2时,sin = .所以答案为 .24α210210一题多解∵ =- ,∴ =- .∴ =- .∴ =- .∴sin = .tantan4αα23sincos4cossin4αααα231sinsin2441sinsin244αααααααα232sin2422sin242αα2324α2102.(2017江苏,5,5分)若tan = ,则tanα=.4α16答案 75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan = ,所以tanα=tan = = = .4α1644αtantan441tantan44αα1161116753.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)= ,则tanβ的值为.17答案3解析解法一:tanβ=tan[(α+β)-α]= = =3.解法二:tan(α+β)= = = ,解得tanβ=3.tan()tan1tan()tanαβααβα1(2)711(2)7tantan1tantanαβαβ2tan12tanββ174.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα= ,cos(α+β)=- .(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.4355解析本题主要考查同角三角函数关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.(1)因为tanα= ,tanα= ,所以sinα= cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α= ,所以cos2α=2cos2α-1=- .(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=- ,所以sin(α+β)= = ,因此tan(α+β)=-2.因为tanα= ,所以tan2α= =- .因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]= =- .43sincosαα439257255521cos()αβ2554322tan1tanαα247tan2tan()1tan2tan()ααβααβ211方法提炼应用三角公式解决问题的三个变换角度:(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有“常值代换”“逆用变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2019课标全国Ⅲ文改编,5,5分)函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为.答案3解析本题考查函数零点个数的判断,以三角函数为背景同时考查三角函数式的求值与化简,以及学生的运算求解能力和函数与方程思想的应用,考查了数学运算的核心素养.由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx·(1-cosx)=0得sinx=0或cosx=1,∴x=kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零点有3个.解题关键遵循角度统一原则,利用二倍角的正弦公式展开计算是解决本题的关键.2.(2019课标全国Ⅱ理改编,10,5分)已知α∈ ,2sin2α=cos2α+1,则sinα=.0,2答案 55解析本题考查了三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系;考查了学生对方程的思想方法的综合运用,以及运算求解能力;通过三角恒等变换考查了逻辑推理、数学运算的核心素养.由二倍角公式可知4sinαcosα=2cos2α.∵α∈ ,∴cosα≠0,∴2sinα=cosα,∴tanα= ,∴sinα= .0,21255技巧点拨常见与“1”有关的三角恒等变换:①1+sin2α=(sinα+cosα)2;②1-sin2α=(sinα-cosα)2;③1+cos2α=2cos2α;④1-cos2α=2sin2α;⑤ = ;⑥ = .1cos1cosαα1cos|sin|αα1sin1sinαα1sin|cos|αα3.(2018课标全国Ⅲ理改编,4,5分)若sinα= ,则cos2α=.13答案 79解析由sinα= ,得cos2α=1-2sin2α=1-2× =1- = .1321329794.(2018课标全国Ⅱ文,15,5分)已知tan = ,则tanα=.54α15答案 32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan = = = ,解得tanα= .54α5tantan451tantan4ααtan11tanαα15325.(2017山东文改编,4,5分)已知cosx= ,则cos2x=.34答案 18解析本题考查二倍角的余弦公式.因为cosx= ,所以cos2x=2cos2x-1=2× -1= .34234186.(2017课标全国Ⅰ文,15,5分)已知α∈ ,tanα=2,则cos =.0,24α答案 31010解析因为α∈ ,且tanα= =2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以sinα= ,cosα= ,则cos =cosαcos +sinαsin = × + × = .0,2sincosαα255554α4455222552231010易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα= ,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.sincosαα7.(2016课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若cos = ,则sin2α=.4α35答案- 725解析解法一:∵cos = ,∴sin2α=cos =cos =2cos2 -1=2× -1=- .解法二:cos = (cosα+sinα)= ⇒cosα+sinα= ⇒1+sin2α= ,∴sin2α=- .4α3522α24α4α2357254α22353251825725导师点睛求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示:(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.8.(2016课标全国Ⅱ改编,11,5分)函数f(x)=cos2x+6cos 的最大值为.2x答案5解析f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2 + ,当sinx=1时,f(x)取得最大值5.23sin2x112思路分析利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos2x+6cos 转化为关于sinx的二次函数,通过配方法来求最值,注意不要忘记sinx∈[-1,1].2x9.(2016课标全国Ⅲ改编,6,5分)若tanθ=- ,则cos2θ=.13答案 45解析解法一:因为tanθ=- ,所以cos2θ=cos2θ-sin2θ= = = .解法二:由tanθ=- ,可得sinθ=± ,因而cos2θ=1-2sin2θ= .132222cossincossinθθθθ221tan1tanθθ451311045评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.10.(2016四川理,11,5分)cos2 -sin2 =.88答案 22解析由二倍角公式易得cos2 -sin2 =cos = .884221.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.C组教师专用题组答案 62解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°= sin(15°+45°)= sin60°= .22622.(2015重庆改编,9,5分)若tanα=2tan ,则 =.53cos10sin5αα答案3解析 = = = = ,∵tanα=2tan ,∴ = =3.3cos10sin5αα3sin210sin5ααsin5sin5ααsincoscossin55sincoscossin55ααααtantan5tantan5αα53cos10sin5αα3tan5tan53.(2014课标全国Ⅰ改编,8,5分)设α∈ ,β∈ ,且tanα= ,则2α-β=.0,20,21sincosββ答案 2解析由tanα= 得 = ,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin ,所以sin(α-β)=sin ,又因为α∈ ,β∈ ,所以- α-β ,0 -α ,因此α-β= -α,所以2α-β= .1sincosββsincosαα1sincosββ2α2α0,20,22222224.(2013课标全国Ⅰ理,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.答案- 255解析由辅助角公式得f(x)=  = sin(x-φ),其中sinφ= ,cosφ= ,由x=θ时,f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+ ,k∈Z,即θ=φ+ +2kπ,k∈Z,∴cosθ=cos =-sinφ=- .5525sincos55xx525555222φ255评析本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.5.(2014江苏,15,14分)已知α∈ ,sinα= .(1)求sin 的值;(2)求cos 的值.,2554α526α解析(1)因为α∈ ,sinα= ,所以cosα=- =- .故sin =sin cosα+cos sinα= × + × =- .(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2× × =- ,cos2α=1-2sin2α=1-2× = ,所以cos =cos cos2α+sin sin2α= × + × =- .,25521sinα2554α44222552255101055255