（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第十四章 圆锥曲线与方程 14.2 双曲线及其性质课件

§14.2双曲线及其性质高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2- =1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.22yb答案y=± x2解析本题主要考查双曲线渐近线方程,考查了运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.由双曲线x2- =1(b0)经过点(3,4),得9- =1,解得b=± ,又b0,所以b= ,易知双曲线的焦点在x轴上,故双曲线的渐近线方程为y=± x=± x.22yb216b22ba22.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为 c,则其离心率的值是.22xa22yb32答案2解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为 = c,∴b= c,∴b2= c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e= =2.22||()bcba323234ca3.(2017江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 -y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.23x答案2 3解析本题考查双曲线的性质及应用.由 -y2=1得右准线方程为x= ,渐近线方程为y=± x,|F1F2|=4,不妨设P在x轴上方,则P ,Q ,∴ =2× ×4× =2 .23x323333,2233,2212FPFQS四边形123234.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1的焦距是.27x23y答案2 10解析由 - =1,得a2=7,b2=3,所以c2=10,c= ,所以2c=2 .27x23y10105.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案 22解析双曲线x2-y2=1的一条渐近线为直线y=x,显然直线y=x与直线x-y+1=0平行,且两直线之间的距离为 = .因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点,所以点P到直线y=x的距离恒大于0,结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于 ,结合已知可得c的最大值为 .22|01|1(1)222222B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义及标准方程1.(2019课标全国Ⅲ理改编,10,5分)双曲线C: - =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为.24x22y答案 324解析本题考查双曲线的标准方程和几何性质,通过双曲线的渐近线考查了数形结合的思想方法.考查的核心素养是数学运算.由双曲线的方程为 - =1,知a=2,b= ,故c= = ,渐近线的方程为y=± x.不妨设点P在第一象限,作PQ⊥OF于Q,如图,∵|PO|=|PF|,∴Q为OF的中点,∴|OQ|= . 令∠POF=θ,由tanθ= 得|PQ|=|OQ|tanθ= × = .∴△PFO的面积S= |OF|·|PQ|= × × = .24x22y222ab62262226222321212632324解题关键求等腰△PFO底边上的高是解题的关键.掌握双曲线的方程和几何性质是解题的基础和保证.2.(2018天津文改编,7,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为.22xa22yb答案 - =123x29y解析本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.∵双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为2,∴e2=1+ =4,∴ =3,即b2=3a2,∴c2=a2+b2=4a2,不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a),∵ =3,∴渐近线方程为y=± x,则点A与点B到直线 x-y=0的距离分别为d1= = a,d2= = a,又∵d1+d2=6,∴ a+ a=6,解得a= ,∴b2=9.∴双曲线的方程为 - =1.22xa22yb22ba22ba22ba33|233|2aa2332|233|2aa233223322332323x29y方法归纳求双曲线标准方程的方法:(1)定义法:根据题目条件求出a,b的值,即可求得方程.(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于参数a,b的方程组,解出a,b的值,即可求得方程.3.(2017课标全国Ⅲ理改编,5,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为.22xa22yb52212x23y答案 - =124x25y解析本题考查求解双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 - =k(k0),即 - =1,∵双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 - =1.24x25y24xk25yk212x23y24x25y一题多解∵椭圆 + =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y= x,∴ = ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为 - =1.212x23y212x23y52ba5224x25y4.(2017天津理改编,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为.22xa22yb2答案 - =128x28y解析本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程.由离心率为 可知a=b,c= a,所以F(- a,0),由题意可知kPF= = =1,所以 a=4,解得a=2 ,所以双曲线的方程为 - =1.222400(2)a42a2228x28y5.(2016天津理改编,6,5分)已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为.24x22yb答案 - =124x212y解析不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得 由①③得 = ,④所以 = × = ,⑤由②④⑤可得b2=12.所以双曲线的方程为 - =1.2220000002,222,,2xyxybbyx①②③20x2164b20y24b2164b2244bb24x212y评析本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法.6.(2015天津改编,6,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x的准线上,则双曲线的方程为.22xa22yb37答案 - =124x23y解析因为点(2, )在渐近线y= x上,所以 = ,又因为抛物线的准线为x=- ,所以c= ,故a2+b2=7,解得a=2,b= .故双曲线的方程为 - =1.3baba3277324x23y考点二双曲线的性质1.(2019浙江改编,2,4分)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是.答案 2解析本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核心素养.∵渐近线方程为y=±x,∴a=b,∴c= a,∴e= = .2ca2解题关键正确理解双曲线方程与渐近线方程的关系,从而得出a与c的关系.2.(2019北京文改编,5,5分)已知双曲线 -y2=1(a0)的离心率是 ,则a=.22xa5答案 12解析本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素养为数学运算.由题意得e= = ,又a2+b2=c2,∴ = =e2-1=4,∵b2=1,∴a2= .∵a0,∴a= .ca522ba222caa1412易错警示把双曲线的离心率错认为e= 而出错.221ba3.(2019天津理改编,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为.22xa22yb答案 5解析本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质考查学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养.如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, ∵|AB|=4|OF|=4,∴A(-1,2),又点A在直线y=- x上,∴2=- ·(-1),∴ =2,∴双曲线的离心率e= = = .bababa221ba1454.(2019课标全国Ⅱ理改编,11,5分)设F为双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为.22xa22yb答案 2解析本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;通过双曲线的离心率考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.如图,∵|PQ|=|OF|=c,∴PQ过点 .∴P .又∵|OP|=a,∴a2= + = ,∴ =2,∴e= = . ,02c,22cc22c22c22c2caca2解题关键由|PQ|=|OF|=c可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P 是解答本题的关键.,22cc5.(2019课标全国Ⅰ文改编,10,5分)双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为.22xa22yb答案 1cos50解析本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.由双曲线C: - =1(a0,b0)可知渐近线方程为y=± x,由题意知- =tan130°,又tan130°=-tan50°,∴ =tan50°,∴双曲线的离心率e= = = = = = .22xa22ybbababaca221ba21tan5022sin501cos5021cos501cos50方法总结求双曲线 - =1(a0,b0)的离心率的常见方法:(1)定义法:e= = ;(2)公式法:e= = (θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e= 转化为关于e的方程,从而得出离心率e.22xa22yb22caca221ba21tanθca6.(2019课标全国Ⅲ文改编,10,5分)已知F是双曲线C: - =1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为.24x25y答案 52解析本题主要考查双曲线的定义和标准方程,结合图形考查学生的数据处理能力、运算求解能力,考查数形结合思想及数学运算的核心素养.如图,记双曲线的右焦点为F,设左焦点为F',连接PF',PF, 由题意得F(3,0),F'(-3,0),∵|OP|=|OF|= |FF'|=3,∴∠F'PF=90°,设|PF'|=m,|PF|=n,则 故mn= =10.12224,36,mnmn222()2mnmn∴S△OPF= S△PF'F= m·n= .121452解题关键由于题中条件只涉及一个焦点F,故合理作图标出左、右两焦点F',F,并将双曲线的定义作为已知条件直接应用是解决本题的关键,利用平面几何知识发现∠F'PF=90°是解决本题的关键.7.(2018浙