（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第十四章 圆锥曲线与方程 14.1 椭圆及其性质课件

第十四章圆锥曲线与方程§14.1椭圆及其性质高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是. 22xa22yb2b答案 63解析由已知条件易得B ,C ,F(c,0),∴ = , = ,由∠BFC=90°,可得 · =0,所以  + =0,得c2- a2+ b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以 = ,则e= = .3,22ba3,22baBF3,22bcaCF3,22bcaBFCF32ca32ca22b341422ca23ca632.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1= .(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标. 22xa22yb52解析本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1= ,AF2⊥x轴,所以DF2= = = .因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为 + =1.(2)解法一:由(1)知,椭圆C: + =1,a=2.因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.5222112DFFF225223224x23y24x23y由 得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=- .将x=- 代入y=2x+2,得y=- .因此B .又F2(1,0),所以直线BF2:y= (x-1).由 得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x= .又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y= (x-1),得y=- .因此E .解法二:由(1)知,椭圆C: + =1.2222,(1)16,yxxy1151151251112,5534223(1),41,43yxxy137343231,224x23y如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1(-1,0),由 解得y=± .又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=- .因此E .221,1,43xxy323231,23.(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点 ,焦点F1(- ,0),F2( ,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为 ,求直线l的方程. 13,233267解析本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.(1)解法一:因为椭圆C的焦点为F1(- ,0),F2( ,0),所以可设椭圆C的方程为 + =1(ab0).又点 在椭圆C上,所以 解得 因此,椭圆C的方程为 +y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.解法二:设椭圆C的方程为 + =1(ab0).因为椭圆C的焦点为F1(- ,0),F2( ,0),又点 在椭圆C上,3322xa22yb13,22222311,43,abab224,1.ab24x22xa22yb3313,2所以2a= + = + =4,所以a=2,又因为c= ,所以b2=1,因此,椭圆C的方程为 +y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)解法一:①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则 + =3.所以直线l的方程为y=- (x-x0)+y0,即y=- x+ .由 消去y,得(4 + )x2-24x0x+36-4 =0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4 + )(36-4 )=48 ( -2)=0.因为x0,y00,所以x0= ,y0=1.221(33)2221(33)27212324x20x20y00xy00xy03y220001,43xyxyxyy20x20y20y20x20y20y20y20x2因此,点P的坐标为( ,1).②因为三角形OAB的面积为 ,所以 AB·OP= ,从而AB= . 设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2= ,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= · .2267122674272200022002448(2)2(4)xyxxy20201xy22002220048(2)(4)yxxy因为 + =3,所以AB2= = ,即2 -45 +100=0.解得 = ( =20舍去),则 = ,因此P的坐标为 .则直线l的方程为y=- x+3 .解法二:①由题意知,直线l斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m.因为直线l与圆O相切于点P,所以 = ,即m2=3(1+k2),由 消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0(**).因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(k2-2)=0,解得k=± .20x20y2022016(2)(1)xx324940x20x20x5220x20y12102,22522||1mk3221,4,xyykxm2因为点P在第一象限,所以k=- ,从而m=3,则直线l的方程为y=- x+3.由 解得 因此,点P的坐标为( ,1).②因为三角形OAB的面积为 ,所以 AB·OP= ,从而AB= .设A(x1,y1),B(x2,y2),由(**)得x1,2= ,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)· ,所以(1+k2)· = ,即17k4-65k2-100=0,2223,2,2yxyx2,1,xy22671226742722816(2)2(14)kmkk22216(2)(14)kk22216(2)(14)kk3249解得k2=5 .因为P在第一象限,所以k=- ,从而m=3 ,此时Δ=16(k2-2)0,综上,直线l的方程为y=- x+3 .22017k舍去5252典型错解错解1:对于直线与圆相切,直线与椭圆有且只有一个公共点的处理方法不清楚.错解2:没有将三角形OAB的面积问题转化为AB长度问题.错解3:字母和数值的运算出错.错解4:没有交代条件就直接取舍数值.如没有交代P在第一象限,直接取k=- ,k=- 等.25名师点睛本题从椭圆的基本问题出发,结合直线与圆的方程及几何性质,对两者进行综合,考查综合处理问题的能力.第一问是基础问题,第二问判断直线及曲线的位置关系涉及解析几何的基本思想方法.因此在复习中要注意以下几点:(1)重视圆锥曲线定义的理解和应用.一方面既要理解圆锥曲线的定义,还要了解圆锥曲线的其他表现形式;另一方面要充分创造条件应用定义,从而简化问题.(2)总结基本问题的常见算法.如直线与圆锥曲线的交点个数问题、求交点问题、弦长问题、中点问题等.(3)合理选择解题思路.不同的解题思路可能导致不同的运算量,所以要先分析题目中未知点的坐标关系,权衡所设变量,合理选择方法,从而确定最优的解题思路.(4)优化解题运算过程.解析几何不可避免地会涉及较多计算,而且涉及较多的字母运算,需要从算理上进行权衡,避免死算蛮算,从整体角度观察,优化运算过程.(5)适时利用平面几何性质.解析几何本质上是几何问题,要挖掘题目中的平面几何性质,从而优化解题路径,减少运算量.4.(2017江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 ,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标. 22xa22yb12解析本题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知识,考查分析问题能力和运算求解能力.(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为 ,两准线之间的距离为8,所以 = , =8,解得a=2,c=1,于是b= = ,因此椭圆E的标准方程是 + =1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x00,y00.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为 ,直线PF2的斜率为 .因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为- ,直线l2的斜率为- ,从而直线l1的方程:y=- (x+1), ①12ca1222ac22ac324x23y001yx001yx001xy001xy001xy直线l2的方程:y=- (x-1). ②由①②,解得x=-x0,y= ,所以Q .因为点Q在椭圆上,由对称性,得 =±y0,即 - =1或 + =1.又P在椭圆E上,故 + =1.由 解得x0= ,y0= ; 无解.因此点P的坐标为 .001xy2001xy20001,xxy2001xy20x20y20x20y204x203y220022001,1,43xyxy477377220022001,1,43xyxy4737,775.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程. 22xa22yb22解析(1)由题意,得 = 且c+ =3,解得a= ,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为 +y2=1.(2)当AB⊥x轴时,AB= ,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2= ,C的坐标为 ,且AB= = = .若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k≠0,故直线PC的方程为y+ =-  ,则P点的坐标为 ,从而PC= .ca222ac222x222222(1)12kkk2222,1212kkkk