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方法1：累加法与累乘法1方法1：累加法与累乘法A组1.☆[累加法]设数列{an}中，a₁＝2，an+1＝an＋n＋2，则通项an＝．解析：由已知得an+1－an＝n＋2，于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋……＋3＝(n＋1)＋32×(n－1)＝n²＋3n－42，∴an＝a₁＋n²＋3n－42＝n²＋3n2＝n(n＋3)2(n≥2)．经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝n(n＋3)2．2.◇设数列{an}中，a₁＝3，an＝an-1＋2n，则通项an＝．解析：由已知得an－an-1＝2n，于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝2n＋2(n－1)＋2(n－2)＋……＋2×2＝2n＋42×(n－1)＝(n＋2)(n－1)．∴an＝a₁＋(n＋2)(n－1)＝3＋(n＋2)(n－1)＝n²＋n＋1(n≥2)．经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝n²＋n＋1．3.◇(2010辽宁卷T16)已知数列{an}满足a₁＝33，an+1－an＝2n，则ann的最小值为．解析：a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝4，a4－a₃＝6，…，an－an-1＝2(n－1)，以上各式左右两边分别相加，得an－a₁＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，∴an＝a₁＋n(n－1)＝33＋n(n－1)，则ann＝33n＋n－1，/*若x＞0，x∈R，由基本不等式可得33x＋x≥233，当且仅当x＝33时取得最小值．最接近33的两个整数是5和6．*/当n＝5时，ann＝335＋4＝535；当n＝6时，ann＝336＋5＝212＜535，所以ann的最小值为212．4.◇(2011四川卷T8)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an+1－an(n∈N*)．若b₃＝－2，b10＝12，则a8＝．解析：设{bn}的公差为d，则d＝b10－b₃10－3＝2，∴bn＝b₃＋(n－3)d＝2(n－4)，即an+1－an＝2(n－4)．则a₂－a₁＝－6，a₃－a₂＝－4，a4－a₃＝－2，…，an－an-1＝2(n－5)，累加得到an－a₁＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n－5)＝(n－8)(n－1)，故an＝3＋(n－8)(n－1)，a8＝3．方法1：累加法与累乘法25.◇(2015江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法]设数列{an}满足a₁＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{1an}前10项的和为．解析：由a₁＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a₁＋(a₂－a₁)＋(a₃－a₂)＋…＋(an－an-1)＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，则1an＝2n(n＋1)＝2(1n－1n＋1)，故数列{1an}前10项的和为S10＝2(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝2(1－111)＝2011．6.◇数列{an}满足a₁＝1，且对任意的m,n∈N*，都有am+n＝am＋an＋mn，则1a₁＋1a₂＋1a₃＋…＋1a2012＝．解析：令m＝1，则有an+1＝a₁＋an＋n，即an+1－an＝n＋1，所以a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝3，a4－a₃＝4，……，an－an-1＝n，累加得到an－a₁＝2＋3＋4＋…＋n＝(n＋2)(n－1)2，故an＝a₁＋(n＋2)(n－1)2＝n(n＋1)2，∴1an＝2n(n＋1)＝2(1n－1n＋1)，∴1a₁＋1a₂＋1a₃＋…＋1a2012＝2(1－12＋12－13＋…＋12012－12013)＝40242013．7.◇已知数列{an}中，a₁＝p，a₂＝q，且an+2－2an+1＋an＝d，求数列{an}的通项公式．解析：原式可化为(an+2－an+1)－(an+1－an)＝d．令bn＝an+1－an，则bn+1－bn＝d，所以数列{bn}是以b₁＝a₂－a₁＝q－p为首项，以d为公差的等差数列．∴bn＝b₁＋(n－1)d＝q－p＋(n－1)d．即an+1－an＝q－p＋(n－1)d．于是有an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁)＝[q－p＋(n－2)d]＋[q－p＋(n－3)d]＋[q－p＋(n－4)d]＋……[q－p＋0d]＝(n－1)(q－p)＋n－22×(n－1)d＝(n－1)(q－p＋n－22d)，∴an＝a₁＋(n－1)(q－p＋n－22d)＝p＋(n－1)(q－p＋n－22d)(n≥2)．经检验当n＝1时也符合该式．∴an＝p＋(n－1)(q－p＋n－22d)．8.☆[累乘法]已知数列{an}中，a₁＝2，满足an+1＝n＋2nan，求数列{an}的通项公式．解析：原式可化为an+1an＝n＋2n，于是有ana₁＝anan-1×an-1an-2×an-2an-3×…×a₂a₁＝n＋1n－1×nn－2×n－1n－3×n－2n－4×…×53×42×31方法1：累加法与累乘法3＝(n＋1)n2×1＝(n＋1)n2，∴an＝a₁×(n＋1)n2＝n(n＋1)．9.◇已知数列{an}中，a₁＝5，满足an＝(1＋1n)an-1，求数列{an}的通项公式．解析：原式可化为anan-1＝1＋1n＝n＋1n，于是有ana₁＝anan-1×an-1an-2×an-2an-3×…×a₂a₁＝n＋1n×nn－1×n－1n－2×…×43×32＝n＋12．∴an＝a₁×n＋12＝52(n＋1)．10.◇已知数列{an}中，a₁＝13，满足an+1＝(13＋23n)an，求数列{an}的通项公式．解析：原式可化为an+1an＝n＋23n＝13×n＋2n，于是有ana₁＝anan-1×an-1an-2×an-2an-3×…×a₂a₁＝(13)n-1×n＋1n－1×nn－2×n－1n－3×n－2n－4×…×53×42×31＝13n-1×(n＋1)n2×1＝13n-1×(n＋1)n2．∴an＝a₁×13n-1×(n＋1)n2＝13n×(n＋1)n2＝(n＋1)n2×3n．11.◇在数列{an}与{bn}中，a₁＝1，b₁＝4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1－(n＋3)Sn＝0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*．⑴求a₂,b₂的值；⑵求数列{an}与{bn}的通项公式．解析：⑴令n＝1可得S₂＝4S₁＝4，∴a₂＝S₂－a₁＝3．/*令n＝2可得2S₃＝5S₂＝20，∴S₃＝10，a₃＝S₃－S₂＝6．*/∵2a₂为b₁与b₂的等比中项，∴b₂＝(2a₂)²b₁＝9．⑵由原式可得nSn+1＝(n＋3)Sn，∴Sn+1Sn＝n＋3n．于是有SnS₁＝SnSn-1×Sn-1Sn-2×Sn-2Sn-3×…×S4S₃×S₃S₂×S₂S₁＝n＋2n－1×n＋1n－2×nn－3×n－1n－4×…×63×52×41＝(n＋2)(n＋1)n3×2×1＝(n＋2)(n＋1)n6．∴Sn＝S₁×(n＋2)(n＋1)n6＝(n＋2)(n＋1)n6．于是有Sn-1＝(n＋1)n(n－1)6，则当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝(n＋2)(n＋1)n6－(n＋1)n(n－1)6＝(n＋1)n2．方法1：累加法与累乘法4经检验当n＝1时也符合上式，∴an＝(n＋1)n2．由已知bn·bn+1＝(2an+1)²＝[(n＋1)(n＋2)]²，①则bn+1·bn+2＝[(n＋2)(n＋3)]²，②两式相除得bn+2bn＝(n＋3n＋1)²，于是有b₃b₁＝(42)²，b5b₃＝(64)²，b7b5＝(86)²，……，b2n+1b2n-1＝(2n＋22n)²．以上各式连乘可得：b2n+1b₁＝(n＋1)²，∴b2n+1＝b₁×(n＋1)²＝(2n＋2)²＝[(2n＋1)＋1]²．再由①式可得：b2n＝[(2n＋1)(2n＋2)]²b2n+1＝[(2n＋1)(2n＋2)]²(2n＋2)²＝(2n＋1)²．综上，恒有bn＝(n＋1)²．B组12.◇[累加法＆错位相减法]在数列{an}中，a₁＝1，an+1＝(1＋1n)an＋n＋12n．求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．解析：an+1＝n＋1nan＋n＋12n，等式两边同除以n＋1，得：an+1n＋1＝ann＋12n，即an+1n＋1－ann＝12n．于是有a₂2－a₁1＝12，a₃3－a₂2＝12²，a44－a₃3＝12³，……，ann－an-1n－1＝12n-1，以上各式相加，得ann－a₁1＝12＋12²＋12³＋……12n-1＝1－(12)n-1＝1－12n-1．∴ann＝a₁1＋1－12n-1＝2－12n-1，∴an＝2n－n2n-1．则Sn＝2(1＋2＋3＋……n)－(12º＋22¹＋32²＋42³＋……＋n2n-1)＝n(n＋1)－(12º＋22¹＋32²＋42³＋……＋n2n-1)．令Tn＝12º＋22¹＋32²＋42³＋……＋n2n-1①，则12Tn＝12¹＋22²＋32³＋424＋……＋n2n②，①－②，得12Tn＝1＋12＋12²＋12³＋……＋12n-1－n2n＝2(1－12n)－n2n＝2－2＋n2n，∴Tn＝4－2＋n2n-1．∴Sn＝n(n＋1)－(4－2＋n2n-1)＝n(n＋1)－4＋2＋n2n-1．C组13.◇对于数列{an}，定义{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an+1－an(n∈N*)．对于正整数k，规定{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δ(Δk-1an)＝Δk-1an+1－Δk-1an．若数列{Δ²an}的各项均为2，且满足a11＝a2015＝0，则a₁的值为．方法1：累加法与累乘法5解析：因为数列{Δ²an}的各项均为2，即Δan+1－Δan＝2，所以Δan＝Δa₁＋2n－2，/*{Δan}为等差数列．*/即an+1－an＝Δa₁＋2n－2，所以an－a₁＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋…＋(a₂－a₁)＝(n－1)Δa₁＋(2＋4＋6＋…＋2n－4)＝(n－1)Δa₁＋(n－1)(n－2)，所以a11－a₁＝10Δa₁＋10×9a2015－a₁＝2014Δa₁＋2014×2013，即0－a₁＝10Δa₁＋10×90－a₁＝2014Δa₁＋2014×2013，解得a₁＝20140．