（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第十二章 立体几何 12.1 空间几何体的表面积和体积课件

第十二章立体几何§12.1空间几何体的表面积和体积高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是. 答案10解析本题考查长方体、三棱锥的体积公式,考查学生的空间想象能力、运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.因为长方体的体积是120,所以2S△BCD·CC1=120,则S△BCD·CC1=60.所以VE-BCD= S△BCD·EC= ·S△BCD· CC1= ×60=10.13131216评析本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体积公式,找出底面面积与高的关系,不需要求出具体的底面面积和高是多少.2.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为. 答案 43解析本题考查组合体体积的计算.多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为 ,高为1,∴其体积为 ×( )2×1= ,∴多面体的体积为 .21322343名师点睛解题的关键要认清空间中的点、线、面的位置关系,要重点掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系.对于一些常见的几何体,如棱长为a的正方体或正四面体,要会求相关线段的长度、有关面积与体积,掌握好特殊几何体,能更好地提升空间想象能力.3.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是. 12VV答案 32解析设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,∴ = = .12VV23243RRR32名师点睛空间几何体体积问题的常见类型及解题策略:(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.4.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案 7解析原两个几何体的总体积V= ×π×52×4+π×22×8= π.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r0),则 ×π×r2×4+π×r2×8= π,解得r2=7,从而r= .1319631319637B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一空间几何体的表面积1.(2018课标全国Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 ,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5 ,则该圆锥的侧面积为.7815答案40 π2解析本题考查了圆锥的性质和侧面积的计算,考查了异面直线所成的角和线面角.因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°,所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半径为r,则母线长l= r.在△SAB中,cos∠ASB= ,所以sin∠ASB= .因为△SAB的面积为5 ,即 SA·SBsin∠ASB= · r· r× =5 ,所以r2=40,故圆锥的侧面积为πrl= πr2=40 π.278158151212221581522疑难突破利用底面半径与母线的关系,以及△SAB的面积值求出底面半径是解题的突破口.2.(2018课标全国Ⅰ文改编,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为.答案12π解析本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2 ,∴圆柱的表面积S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π.2解题关键正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.3.(2018课标全国Ⅰ理改编,12,5分)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为.答案 334解析本题主要考查空间直线与平面的位置关系及其所成角问题.由正方体的性质及题意可得,正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知棱AB,AD,AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等,所以α∥平面A1BD,当平面α趋近点A时,截面图形的面积趋近于0;当平面α经过正方体的中心O时,截面图形为正六边形,其边长为 ,截面图形的面积为6× × = ;当平面α趋近于C1时,截面图形的面积趋近于0,所以截面图形面积的最大值为 . 2234222334334解题关键利用正方体的性质,将每条棱所在直线与平面α所成角转化为共顶点的三条棱所在直线与平面α所成角是解决本题的关键.4.(2017课标全国Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π解析本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式.由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2= ,所以球O的表面积为4πR2=14π.72疑难突破明确长方体的体对角线为球的直径是求解的关键.易错警示易因用错球的表面积公式而致错.5.(2017课标全国Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π解析由题意作出图形,如图. 设球O的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC= R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB= R,所以△ABC是边长为 R的等边三角形,设△ABC的中心为O1,连接OO1,CO1.则OO1⊥平面ABC,CO1= × × R= R,则OO1= = R,则VS-ABC=2VO-ABC=2× × ( R)2× R= R3=9,22223322632263RR33133423313所以R=3.所以球O的表面积S=4πR2=36π.6.(2017课标全国Ⅰ文,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积. 83解析本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算.(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E. 由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD= x,PE= x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD= AB·AD·PE= x3.由题设得 x3= ,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2 ,PB=PC=2 .可得四棱锥P-ABCD的侧面积为 PA·PD+ PA·AB+ PD·DC+ BC2sin60°=6+2 .2221313138322121212123方法总结1.面面垂直的证明证明两个平面互相垂直,可以在一个平面内找一条直线l,证明直线l垂直于另一个平面.2.线面垂直的证明(1)证明直线l垂直于平面内的两条相交直线.(2)若已知两个平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.3.几何体的体积柱体的体积V=S底·h.锥体的体积V= S底·h.134.几何体的表面积直棱柱的侧面积S侧=C底·l,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积,最后求和.考点二空间几何体的体积1.(2019课标全国Ⅰ理改编,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为.答案 π6解析本题考查线面垂直的位置关系、三棱锥的性质和球的体积公式,考查空间想象能力和数学运算能力,考查的核心素养是直观想象和数学建模.解法一:∵E、F分别是PA、AB的中点,∴EF∥PB.∵∠CEF=90°,∴EF⊥EC,∴PB⊥EC,又∵三棱锥P-ABC为正三棱锥,∴PB⊥AC,从而PB⊥平面PAC,∴三条侧棱PA、PB、PC两两垂直.∵△ABC是边长为2的正三角形,∴PA=PB=PC= ,则球O是棱长为 的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R= × ,R= ,∴球O的体积V= πR3= π. 223262436解法二:令PA=PB=PC=2x(x0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= .在△PAC中,cos∠APC= = .在△PEC中,EC2=PC2+PE2-2PC·PEcos∠EPC=4x2+x2-2×2x·x· =x2+2,在△FEC中,∵∠CEF=90°,∴FC2=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,∴x= ,∴PA=PB=PC=2x= .∵AB=BC=CA=2,∴三棱锥P-ABC的三个侧面为等腰直角三角形,∴PA、PB、PC两两垂直,故球O是棱长为 的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R= × ,R= ,∴球O的体积V= πR3= π.322244424xxx22212xx22212xx22223262436解题关键三棱锥与球的切、接问题,关键是确定三棱锥的特殊性.本题中确定三棱锥的侧棱长是关键.通常情况下,把空间问题转化为平面问题后通过解三角形完成,充分利用平行、垂直的特殊位置关系更有利于解题.2.(2019课标全国Ⅲ理,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g. 答案118.8解析本题考查长方体、四棱锥的体积公式;考查学生的空间想象能力和运算能力,以及应用意识与数形结合的思想;考查的核心素养是直观想象和数学运算.依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积V=V长方体-V四棱锥=6×6×4- × ×4×6×3=132(cm3).又制作该模型所需的原料密度为0.9g/cm3,故制作该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g).1312易错警示计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形HEFG为正方形,由勾股定理求得HE= = ,错认为底面面积为13.2223133.(2019天津理,11,5分)已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.25答案 4解析本题考查了圆柱、正四棱锥的性质,通过计算圆柱的底面半径、高、体积考查学生的空间想象能力和转化思想方法的应用,体现了直观想象的核心素养.如图所示,圆柱的高O1O= PO=  = × =1,圆柱的底面半径r= AO= .所以圆柱的体积V=πr2·O1O=π× ×1= . 121222PAAO125112121444.(2019课标全国Ⅰ文,16,5分)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为 ,那么P到平面ABC的距离为.3答案 2解析本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质,点到平面距离的计算等知