（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用课件

§3.2导数的应用高考数学(江苏省专用)五年高考A组统一命题·课标卷题组考点一导数与函数的单调性(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+ex- ,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.1ex答案 11,2解析本题考查用导数研究函数单调性、函数单调性的应用.易知函数f(x)的定义域关于原点对称.∵f(x)=x3-2x+ex- ,∴f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x- =-x3+2x+ -ex=-f(x),∴f(x)为奇函数,又f'(x)=3x2-2+ex+ ,则f'(x)≥3x2-2+2=3x2≥0(当且仅当x=0时,取“=”),从而f(x)在R上单调递增,所以f(a-1)+f(2a2)≤0⇔f(a-1)≤f(-2a2)⇔-2a2≥a-1,解得-1≤a≤ .1ex1ex1ex1ex12考点二导数与函数的极值和最值1.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.答案-3解析本题考查利用导数研究函数的极值和最值.∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x0时,f'(x)0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a0.当0x 时,f'(x)0,f(x)为减函数;当x 时,f'(x)0,f(x)为增函数,∴x0时,f(x)有极小值,为f =- +1.∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f =0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=6x(x-1).令f'(x)=0,得x=0或x=1.3a3a3a327a3ax-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)+-f(x)-4增1减0∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.2.(2017江苏,20,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b23a;(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于- ,求a的取值范围.72解析本题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3 +b- .当x=- 时,f'(x)有极小值b- .因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,所以f =- + - +1=0,又a0,故b= + .因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,从而b- = (27-a3)≤0,即a≥3.当a=3时,f'(x)0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1= ,x2= .列表如下:23ax23a3a23a3a327a39a3ab229a3a23a19a233aab233aabx(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗故f(x)的极值点是x1,x2.从而a3.因此b= + ,定义域为(3,+∞).(2)证明:由(1)知, = + .设g(t)= + ,则g'(t)= - = .当t∈ 时,g'(t)0,从而g(t)在 上单调递增.因为a3,所以a 3 ,故g(a )g(3 )= ,即  .因此b23a.(3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=- a, + = .从而f(x1)+f(x2)= +a +bx1+1+ +a +bx2+1229a3aba29aa3aa29t3t2923t222279tt36,236,2a3a33ba32321x22x2469ab31x21x32x22x= (3 +2ax1+b)+ (3 +2ax2+b)+ a( + )+ b(x1+x2)+2= - +2=0.记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b- =- a2+ ,所以h(a)=- a2+ ,a3.因为h'(a)=- a- 0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.因为h(6)=- ,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范围为(3,6].13x21x23x22x1321x22x2334627aab49ab23a193a193a2923a72易错警示(1)函数f(x)的极值点x0满足f'(x0)=0,函数f(x)的零点x0满足f(x0)=0,而f'(x)的极值点x0应满足f″(x0)=0.(2)求函数的关系式必须确定函数的定义域.3.(2015江苏,19,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪ ∪ ,求c的值.31,23,2解析(1)f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=- .当a=0时,因为f'(x)=3x20(x≠0),所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a0时,若x∈ ∪(0,+∞),则f'(x)0,若x∈ ,则f'(x)0,所以函数f(x)在 ,(0,+∞)上单调递增,在 上单调递减;当a0时,若x∈(-∞,0)∪ ,则f'(x)0,若x∈ ,则f'(x)0,所以函数f(x)在(-∞,0), 上单调递增,在 上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f = a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f =b 0,从而 或 又b=c-a,所以当a0时, a3-a+c0或当a0时, a3-a+c0.设g(a)= a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪ ∪ ,23a2,3a2,03a2,3a2,03a2,3a20,3a2,3a20,3a23a42723a3427ab30,4027aab30,40.27aba42742742731,23,2则在(-∞,-3)上,g(a)0,且在 ∪ 上,g(a)0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且g =c-1≥0,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],因函数f(x)有三个零点,故x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)∪ ∪ .综上,c=1.31,23,23231,23,2名师点睛(1)求函数的单调区间的步骤:①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;④确定f'(x)在各个区间内的符号,根据符号判断函数在相应区间内的单调性.(2)已知函数的零点个数问题的处理方法:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象,数形结合求解.(3)已知不等式解集求参数的方法:利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.考点三导数的实际应用与综合应用1.(2019江苏,19,16分)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤ .427解析本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.(1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.(2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,从而f'(x)=3(x-b) .令f'(x)=0,得x=b或x= .因为a,b, 都在集合{-3,1,3}中,且a≠b,不妨设ba,则b a,所以 =1,a=3,b=-3.此时,f(x)=(x-3)(x+3)2,f'(x)=3(x+3)(x-1).令f'(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:23abx23ab23ab23ab23abx(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)×(1+3)2=-32.(3)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f'(x)=3x2-2(b+1)x+b.因为0b≤1,所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+30,则f'(x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2).由f'(x)=0,得x1= ,x2= .列表如下:2113bbb2113bbbx(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值M=f(x1).解法一:M=f(x1)= -(b+1) +bx1=[3 -2(b+1)x1+b] - x1+ = + + ( )3= - + [ ]3≤ + ≤ .因此M≤ .解法二:因为0b≤1,所以x1∈(0,1).当x∈(0,1)时,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.令g(x)=x(x-1)2,x∈(0,1),则g'(x)=3 (x-1).31x21x21x1139xb22(1)9bb(1)9bb22(1)(1)27bbb(1)9bb22721bb(1)27bb22(1)(1)27bb227(1)1bb(1)27bb22742742713x令g'(x)=0,得x= .列表如下:所以当x= 时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max=g = .所以当x∈(0,1)时,f(x)≤g(x)≤ .因此M≤ .x   g'(x)+0-g(x)↗极大值↘1310,3131,1313134274274272.(2018江苏,17,14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为