（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及导数的运算课件

第三章导数及其应用§3.1导数的概念及导数的运算高考数学(江苏省专用)(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.五年高考A组自主命题·江苏卷题组答案(e,1)解析本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.设A(x0,y0),由y'= ,得k= ,所以在点A处的切线方程为y-lnx0= (x-x0).因为切线经过点(-e,-1),所以-1-lnx0= (-e-x0).所以lnx0= ,令g(x)=lnx- (x0),则g'(x)= + ,则g'(x)0,∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.又g(e)=0,∴lnx= 有唯一解x=e.∴x0=e.∴点A的坐标为(e,1).1x01x01x01x0exex1x2exex方法总结求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤:①设切点为(x0,f(x0));②求k=f'(x0);③得出切线的方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);④由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一导数的概念及几何意义1.(2019课标全国Ⅱ文改编,10,5分)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为.答案2x+y-2π+1=0解析本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的核心素养是数学运算.由题意可知y'=2cosx-sinx,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0.2.(2019课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a=,b=.答案e-1;-1解析本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导数的求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养.∵y'=aex+lnx+1,∴y'|x=1=ae+1,∴2=ae+1,∴a=e-1.∴切点为(1,1),将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,∴b=-1.解题关键正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.3.(2019天津文,11,5分)曲线y=cosx- 在点(0,1)处的切线方程为.2x答案x+2y-2=0解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cosx- ,∴y'=-sinx- ,∴y'|x=0=- ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- ,∴切线方程为y-1=- (x-0),即x+2y-2=0.2x12121212方法总结求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.4.(2019课标全国Ⅰ理,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.答案y=3x解析本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.∵y'=3(x2+3x+1)ex,∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y'|x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.解题关键掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.5.(2018课标全国Ⅰ文改编,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=x解析本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴a-1=0,得a=1,∴f(x)=x3+x,∴f'(x)=3x2+1,∴f'(0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题:(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标.(2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组).(3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.6.(2018课标全国Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x解析本题主要考查导数的几何意义.因为y'= ,所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.21x7.(2018课标全国Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)ex,则f'(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.8.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a- ,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.1x易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.9.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为.1x答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+ ,∴y'=2x- ,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.1x21x10.(2016课标全国Ⅲ理,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案y=-2x-1解析令x0,则-x0,f(-x)=lnx-3x,又f(-x)=f(x),∴f(x)=lnx-3x(x0),则f'(x)= -3(x0),∴f'(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.1x思路分析根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.评析本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义,求出x0时f(x)的解析式是解题关键.11.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx+2得y'= ,由y=ln(x+1)得y'= ,∴k= = ,∴x1= ,x2= -1,∴y1=-lnk+2,y2=-lnk.即A ,B ,∵A、B在直线y=kx+b上,∴ ⇒ 1x11x11x211x1k1k1,ln2kk11,lnkk12ln,1ln1kkbkkkbk1ln2,2.bk思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.12.(2016课标全国Ⅲ文,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x解析当x0时,-x0,f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x0),又点(1,2)在曲线y=f(x)上,且易知f'(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f'(1)·(x-1),即y=2x.13.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.1x答案(1,1)解析∵函数y=ex的导函数为y'=ex,∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),∵函数y= 的导函数为y'=- ,∴曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- ,由题意知k1k2=-1,即1· =-1,解得 =1,又x00,∴x0=1.又∵点P在曲线y= (x0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).1x21x1x201x201x20x1x14.(2019课标全国Ⅱ理,20,12分)已知函数f(x)=lnx- .(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.11xx解析本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数零点以及导数的几何意义.考查学生分析、解决问题的能力,考查逻辑推理能力和运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).因为f'(x)= + 0,所以f(x)在(0,1),(1,+∞)单调递增.因为f(e)=1- 0,f(e2)=2- = 0,所以f(x)在(1,+∞)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0 1,f =-lnx1+ =-f(x1)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零点 .综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)因为 = ,故点B 在曲线y=ex上.由题设知f(x0)=0,即lnx0= ,故直线AB的斜率k= = = .1x22(1)xe1e122e1e122e3e111x11x1111xx11x01x0lnex001ln,xx0011xx00001lnlnxxxx00000011111xxxxxx01x曲线y=ex在点B 处切线的斜率是 ,曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率也是 ,所以曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.001ln,xx01x01x解后反思(1)先判断函数的单调性,然后结合零点存在性定理证明函数f(x)有且仅有两个零点.(2)要证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线,首先求得这条切线的斜率k= ,所以必须在曲线y=ex上找一点B(x1, ),使 = ,从而求得B点的坐标为 ,然后证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率等于曲线y=ex在点B 处的切线斜率即可.01x1ex1ex01x001ln,xx001ln,xx考点二导数的运算1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exlnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.答案e解析本题主要考查导数的计算.∵f(x)=exlnx,∴f'(x)=ex ,∴f'(1)=e1(ln1+1)=e.1lnxx2.(2016天津改编,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.答案3解析∵f'(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.3.(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x- )e-x .(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间 上的取值范围.21x12x1,2解析本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力.(1)因为(x- )'=1- ,(e-x)'=-e-x,所以f'(x)= e-x-(x- )e-x=  .(2)由f'(x)= =0,解得x=1或x= .因为21x121x1121x21x(1)