（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列课件

§6.2等差数列高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组考点一等差数列的概念及运算1.(2019江苏,8,5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.答案16解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,考查学生的运算求解能力,同时考查数列基础知识的应用能力.设数列{an}的公差为d,则 解得a1=-5,d=2,所以S8=8×(-5)+ ×2=16.1111()(4)70,98927,2adadadad872一题多解∵数列{an}是等差数列,∴S9= =9a5=27,∴a5=3,由3a2+a8=0,得3(a5-3d)+a5+3d=0,即12-6d=0,∴d=2,∴S8= =4(a4+a5)=4(a5-d+a5)=16.199()2aa188()2aa2.(2016江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是.22a答案20解析设等差数列{an}的公差为d,则由题设可得 解得 从而a9=a1+8d=20.2111()3,54510,2aadad13,4,da考点二等差数列的性质及应用(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.证明本题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)因为{an}是等差数列,所以设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列{an}是“P(3)数列”.(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an, ①当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an. ②由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1), ③an+2+an+3=4an+1-(an-1+an). ④将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{an}是等差数列.方法总结数列新定义型创新题的一般解题思路:1.阅读审清“新定义”;2.结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义”的相关知识;3.利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一等差数列的概念及运算1.(2019课标全国Ⅰ理改编,9,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则an=,Sn=.答案2n-5;n2-4n解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.设{an}的公差为d,依题意得,4a1+ d=0①,a1+4d=5②,联立①②,解得a1=-3,d=2.所以an=2n-5,Sn=n2-4n.432解后反思解数列选择题,可以用逐项检验法、排除法或赋值法等“快速”解法.本题若用逐项检验法去验证S4和a5,就会发现无法排除错误选项.因此,还是要从通用方法入手.2.(2019课标全国Ⅲ理,14,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则 =.105SS答案4解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和运算求解能力;考查了数学运算的核心素养.设等差数列{an}的公差为d,∵a2=3a1,∴a2=a1+d=3a1,∴d=2a1,∴S10=10a1+ d=100a1,S5=5a1+ d=25a1,又∵a1≠0,∴ =4.1092542105SS3.(2019北京理,10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.答案0;-10解析本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式;考查函数的思想方法;通过求最值考查学生的运算求解能力.考查的核心素养是数学运算.设等差数列{an}的公差为d,∵a2=-3,S5=-10,∴ 即 得 ∴a5=a1+4d=0,Sn=na1+ d=-4n+ = (n2-9n)=  - ,∵n∈N*,∴n=4或5时,Sn取最小值,最小值为-10.113,54510,2adad113,22,adad14,1,ad(1)2nn22nn1212292n818一题多解设等差数列{an}的公差为d,易得S5= =5a3,∵S5=-10,∴a3=-2,又a2=-3,∴d=1,∴a5=a3+2d=0,∴(Sn)min=S4=S5=-10.155()2aa4.(2019课标全国Ⅲ文,14,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.答案100解析本题考查等差数列的性质和前n项和公式,考查学生的运算求解能力,考查数学运算的核心素养.设等差数列{an}的公差为d,则d= = =2,∴a1=a3-2d=5-4=1.∴S10=10+ ×2=100.734aa13541092失分警示对等差数列前n项和公式记忆不清,从而导致出错.5.(2018课标全国Ⅰ理改编,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=.答案-10解析本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列{an}的公差为d,则3×(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=- a1,又a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=-10.326.(2018北京理,9,5分)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为.答案an=6n-3解析本题主要考查等差数列的通项公式.设等差数列{an}的公差为d,则a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=36,∴d=6,∴an=a1+(n-1)d=3+6(n-1)=6n-3.7.(2017课标全国Ⅲ理改编,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为.答案-24解析本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列{an}的公差为d,依题意得 =a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,∴S6=6×1+ ×(-2)=-24.23a652评析(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,在求解时常用它们表示已知和未知.8.(2017课标全国Ⅱ理,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则  =.1nk1kS答案 21nn解析本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.设公差为d,则 ∴ ∴an=n.∴前n项和Sn=1+2+…+n= ,∴ = =2 ,∴  =2 1- + - +…+ -  =2 =2· = .1123,4610,adad11,1,ad(1)2nn1nS2(1)nn111nn1nk1kS1212131n11n111n1nn21nn思路分析求出首项a1和公差d,从而求出Sn,得 = =2 ,从而运用裂项相消法求和即可.1nS2(1)nn111nn解后反思裂项相消法求和的常见类型:①若{an}是等差数列,则 =  (d≠0);② = ( - );③ = - .11nnaa1d111nnaa1nkn1knkn12(21)(21)nnn121n1121n9.(2015课标全国Ⅰ改编,7,5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=.答案 192解析由S8=4S4得8a1+ ×1=4× ,解得a1= ,∴a10=a1+9d= .872143412a12192评析本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.10.(2019课标全国Ⅰ文,18,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a10,求使得Sn≥an的n的取值范围.解析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力,主要考查数学运算的核心素养.(1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn= .由a10知d0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.(9)2nnd思路分析(1)根据题意列出两个关于a1和d的方程,然后解得a1与d,从而得{an}的通项公式.(2)根据(1)中a1与d的关系,利用等差数列的前n项和公式及通项公式,得出关于n的不等式,从而得出n的取值范围.11.(2019课标全国Ⅱ理,19,12分)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.解析本题主要考查由递推关系证明数列为等比数列、等差数列以及求数列的通项公式,考查了学生的逻辑推理、运算求解能力以及方程思想,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1= (an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为 的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,an+bn= ,an-bn=2n-1.所以an= [(an+bn)+(an-bn)]= +n- ,bn= [(an+bn)-(an-bn)]= -n+ .1212112n1212n121212n12思路分析(1)将两递推关系式左、右两边相加可得an+1+bn+1= (an+bn),从而证得数列{an+bn}为等比数列;将两递推关系式左、右两边相减可得an+1-bn+1=an-bn+2,从而证得数列{an-bn}为等差数列.(2)由(1)可求出{an+bn},{an-bn}的通项公式,联立方程可解得an,bn.12解题关键将两递推关系式相加、相减,从而证得数列为等差、等比数列是解决本题的关键.12.(2018课标全国Ⅱ理,17,12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,