专题18-反比例函数中动点问题及图形存在性探究(解析版)

==5kb04b15专题18反比例函数中动点问题及图形存在性探究1.（2019·山东泰安中考）已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数ymx的图象交于点A，与x轴交于点B(5,0)，若OB=AB，且△SOAB152.（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若点P为x轴上一点，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，∵B(5,0)，OB=AB，且△SOAB152，∴1155AD=,即AD=3，22在△RtABD中，由勾股定理得：BD=∴A点坐标为（9,3），AB2AD24,∵反比例函数ymx的图象过点A，∴m=27，将（9,3），（5,0）代入y=kx+b得：9kb33k，解得：4y＝2的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝．，，即一次函数解析式为：y31527x，反比例函数解析式为：y44x；（2）由题意知，AB=5，①当AB=BP时，BP=5，即P点坐标为（0,0）或（10,0），②当AB=AP时，由AD=3知，BP=4，即点P与点B关于点D对称，即P点坐标为（13,0），③当AP=BP时，即P在线段AB的垂直平分线上，设P(m，0)，则AP2=（9－m）2+9，BP2=（5－m）2，∴（9－m）2+9=（5－m）2解得：m=658，即P点坐标为（658，0），综上所述，满足题意的P点坐标为：（0,0），（10,0），（13,0），（658，0）.k2.（2019·四川达州中考）如图，A、B两点在反比例函数y＝1的图象上，C、D两点在反比例函数xkx【答案】4．【解析】解：设A（a，kkkk1），C（a，2）B（b，1），D（b，2）aabbkk则CA＝2﹣1＝2，aakkkk即21=2，得a＝21，a2kkkk同理：BD＝12=4，得b＝1b4又∵a﹣b＝32，∴kk（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为kk21－1242＝3，解得：k2﹣k1＝4.故答案为：4.3.（2019·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（）kx（x＞0）的图象上，若AB=1，则k的值为A.1B.22C.2D.2【答案】A.【解析】解：过点C作CD⊥y轴于D，如图所示，∵CA⊥x轴，∴∠ACO=90°，∴四边形OACD是矩形，∵AB=BC=1，∴S四边形OACD=2△SABC=1，即k=1，故答案为：A.4.（2019·山东潍坊中考）如图，△RtAOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝5＞0）与y＝x．1x（x（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，，△SAOC＝，＝【答案】5.【解析】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，则∠BDO＝∠ACO＝90°，∵点A，B分别在反比例函数y＝15xx∴△SBDO5122∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∴△BDO∽△OCA，S∴VBODSVAOCOB2OA25，∴OBOA5，∴tan∠BAO＝OBOA5，故答案为：5．合，顶点A,B恰好分别落在函数y15.（2019·甘肃陇南中考）如图，已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=－x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=－x+b的图象于点M，交反比例函数y=k上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．x【答案】见解析.【解析】解：（1）∵反比例函数y=两点，代入可得：k=3，b=4，kx的图象与一次函数y=－x+b的图象交于A（1，3），B（3，1）即反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3x，y=－x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．6.（2019·湖北咸宁中考）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重4(x0),y(x0)的图象上，则sin∠ABO的值为（）xx（A）13355（B）（C）（D）345【答案】D.【解析】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，如图所示，设A(x，)，B(x，),x2xxy轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）2C．2∴△AOC∽△OBD，∴OAACOCOBODBD,141121OAxx∴11，OBx422可得：xx1224，∵xx0，12∴xx=－2，12即OA1，OB2设OA=k，则OB=2k，由勾股定理得：AB=5k,在△RtAOB中，sin∠ABO=OAk5，AB5k5故答案为：D.7.（2019·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、kxA．1【答案】A．B．2D．2∴点C的坐标为（，2），∵点C在函数y＝的图象上，x+k1∴C（m+n，0），D（0，k1），∴△SODM＝1n×k＝，△SOCA＝（m+n）×＝，【解析】解：∵由题意知，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝22，AC＝2，22kx∴k＝2×2＝1，2故答案为：A．8.（2019·湖南长沙中考）如图，函数ykx(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，△F．现有以下四个结论：①ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝23；④若MF＝＝2MA．其中正确的结论的序号是．25MB，则MD【答案】①③④.【解析】解：①设点A（m，kmk），M（n，），n则直线AC的解析式为y＝﹣k1，mnmnm1n211kmn1kkmnmn2m2m2m∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝2（n﹣m），OM＝m2n2，∴AM不一定等于OM，即∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，设M（1，△k），OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，∴1+k2＝m2+k2m2，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝23，∵m＞1，∴k＝2+3，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K，y∵OF∥MK，∴FMOK2，BMKB5OK2∴，OB3∵OA＝OB，∴OK2，AK∵KM∥OD，∴DMOK2，AMAK∴DM＝2AM，故④正确．故答案为：①③④．9.（2019·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中，函数k(k0,x0)的图象与等边三角形OABx的边OA，AB分别交于点M,N，且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为.【答案】35.2【解析】解：由题意知，OA=OB=AB=3，∵OM=2MA，∠AOM=∠A=∠ABO=60°，∴OM=2，AM=1，则M点横坐标为1，纵坐标为3，解得：x=或x=（∵N在M的左侧，而2，舍去），3510.（2019·河南开封二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．把A（﹣1，2）代入y＝，可得k＝﹣2，∴k=3，设N点坐标为（x，3），x过N作NH⊥x轴于H，则NH=3BH，∴3x=3(3－x),353535222故答案为：.21kx（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，得n＝2，∴A（﹣1，2），kx∴反比例函数的表达式为y＝﹣，△SPOB＝1，m），则×（2+m）（m﹣1）＝1或（2+m）（1﹣m）＝1，2或2（舍），2或2x∵点B与点A关于原点对称，∴B（1，﹣2）．（2）∵A（﹣1，2），∴y≤2的取值范围是：x＜﹣1或x＞0；（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，∵S＝梯形MBPN设P（m，﹣2122122整理得，m2﹣m﹣1＝0或m2+m+1＝0，解得m＝15152（舍）或512或51∴P点的横坐标为15512．