（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 二次函数与幂函数课件

§2.3二次函数与幂函数高考数学(江苏省专用)考点一二次函数五年高考统一命题、省(区、市)卷题组1.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤ ,则实数a的最大值是.23答案 43解析本题考查绝对值不等式的解法及二次函数的最值等相关知识;以三次函数为背景,对不等式化简变形,考查学生运算求解能力,将不等式有解问题转化为函数值域(最值)问题,考查学生的化归与转化思想、数形结合思想;突出考查了数学运算的核心素养.|f(t+2)-f(t)|≤ ⇔|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|≤ ⇔|6at2+12at+8a-2|≤ ⇔|3at2+6at+4a-1|≤ ⇔- ≤3at2+6at+4a-1≤ ⇔ ≤a(3t2+6t+4)≤ ,∵3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,∴若存在t∈R,使不等式成立,则需a0,故a(3t2+6t+4)∈[a,+∞),∴只需[a,+∞)∩ ≠⌀即可,∴0a≤ ,故a的最大值为 .232323131313234324,334343疑难突破能够将原绝对值不等式化繁为简,将问题简化为一元二次不等式有解问题,再进一步转化为值域交集非空是求解本题的关键.2.(2017浙江改编,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m.(1)与a有关,且与b有关(2)与a有关,但与b无关(3)与a无关,且与b无关(4)与a无关,但与b有关答案(2)解析本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类讨论思想.解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m与b无关.又a=1时,g(x)max-g(x)min=2,a=2时,g(x)max-g(x)min=3,故M-m与a有关.故填(2).解法二:(1)当- ≥1,即a≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)当 ≤- 1,即-2a≤-1时,M=f(0),m=f ,从而M-m=f(0)-f =b- = a2.(3)当0-  ,即-1a0时,M=f(1),m=f ,从而M-m=f(1)-f = a2+a+1.(4)当- ≤0,即a≥0时,f(x)在[0,1]上为增函数,∴M-m=f(1)-f(0)=a+1.2a122a2a2a24ab142a122a2a142a即有M-m= ∴M-m与a有关,与b无关.故填(2).221(0),11(10),41(21),41(2).aaaaaaaaa3.(2017北京文改编,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案 1,12解析由题意知,y=1-x,∵y≥0,x≥0,∴0≤x≤1,则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2 + .当x= 时,x2+y2取最小值 ,当x=0或x=1时,x2+y2取最大值1,∴x2+y2∈ .212x1212121,124.(2015浙江文,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b= +1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.24a解析(1)当b= +1时,f(x)= +1,故f(x)图象的对称轴为直线x=- .当a≤-2时,g(a)=f(1)= +a+2.当-2a≤2时,g(a)=f =1.当a2时,g(a)=f(-1)= -a+2.综上,g(a)= (2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则 由于0≤b-2a≤1,因此 ≤s≤ (-1≤t≤1).当0≤t≤1时, ≤st≤ ,24a22ax2a24a2a24a222,2,41,22,2,2.4aaaaaaa,,stastb22tt122tt222tt222ttt由于- ≤ ≤0和- ≤ ≤9-4 ,所以- ≤b≤9-4 .当-1≤t0时, ≤st≤ ,由于-2≤ 0和-3≤ 0,所以-3≤b0.故b的取值范围是[-3,9-4 ].23222tt13222ttt5235222ttt222tt222tt222ttt5考点二幂函数(2018上海,7,5分)已知α∈ .若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.112,1,,,1,2,322答案-1解析本题主要考查幂函数的性质.∵幂函数f(x)=xα为奇函数,∴α可取-1,1,3,又f(x)=xα在(0,+∞)上递减,∴α0,故α=-1.规律方法幂函数y=xα(α∈R)的性质及图象特征:①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1);②如果α0,则幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上为增函数;③如果α0,则幂函数的图象在区间(0,+∞)上为减函数;④当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.教师专用题组考点一二次函数1.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y= +m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.x答案(0,1]∪[3,+∞)解析①当0m≤1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= +m的图象,如图. 易知此时两函数图象在x∈[0,1]上有且只有一个交点;②当m1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y= +m的图象,如图. 要满足题意,则(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0(舍去),xx∴m≥3.综上,正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).方法总结已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法:①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式,再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围.②分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决.③数形结合法:在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)= (m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间 上单调递减,那么mn的最大值为.121,22答案18解析当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间 上单调递减,则n-80⇒n8,于是mn16,则mn无最大值.当m∈[0,2)时,f(x)的图象开口向下且过点(0,1),要使f(x)在区间 上单调递减,需- ≤ ,即2n+m≤18,又n≥0,则mn≤m =- m2+9m.而g(m)=- m2+9m在[0,2)上为增函数,∴m∈[0,2)时,g(m)g(2)=16,故m∈[0,2)时,mn无最大值.当m2时,f(x)的图象开口向上且过点(0,1),要使f(x)在区间 上单调递减,需- ≥2,即2m+n≤12,而2m+n≥2 ,所以mn≤18,当且仅当 即 时,取“=”,此时满足m2.故(mn)max=18.综上可得,(mn)max=18.1,221,2282nm1292m12121,2282nm2mn212,2,mnmn3,6mn评析本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式.考查学生分析问题与解决问题的能力.考查转化与化归的数学思想.3.(2015陕西改编,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零 ),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是.(1)-1是f(x)的零点(2)1是f(x)的极值点(3)3是f(x)的极值(4)点(2,8)在曲线y=f(x)上整数答案(1)解析(1)由已知得,f'(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若(1)、(2)正确,则有 解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有 由①②得 代入③中并整理得9a2-4a+ =0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+ =0无整数解,故(1)错.0,20,abcab20,428,43,4abcabcacba　　①②③8,382,3baca649649若(2)(3)(4)正确,则有 解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8,此时f(-1)=23≠0,符合题意.20,3,428,ababcabc4.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间 是减函数,则a的取值范围是.,62答案(-∞,2]解析f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x∈ ,则t∈ ,则函数y=-2t2+at+1在 上是减函数,则 ≤ ,所以a≤2.,621,121,124a12解题关键本题的解题关键在于通过换元,将原函数转化为二次函数,再结合复合函数单调性即可求解.考查转化能力、数形结合思想.5.(2014辽宁,16,5分)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时, - + 的最小值为.3a4b5c答案-2解析设2a+b=t,则2a=t-b,由已知得关于b的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0有解,即6b2-3tb+t2-c=0有解.故Δ=9t2-24(t2-c)≥0,所以t2≤ c,所以|t|max= ,此时c= t2,b= t,2a=t-b= ,所以a= .故 - + = - + =8 =8 -2≥-2.852105c581434t38t3a4b5c8t16t28t211tt2112t6.(2013课标全国Ⅱ,16,5分)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.答案16解析由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,有 即 解得a=8,b=15,∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)[(x+4)2-1],令x+2=t,则x=t-2,t∈R.∴y=g(t)=[1-(t-2)2][(t-2)2+8(t-2)+15]=(4t-t2-3)·(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2,∴当t2=5时,ymax=16.(0)(4),(1)(5),ffff15(164),024(255),babab考点二幂函数(2014上海,9,4分)若f(x)= - ,则满足f(x)0的x的取值范围是.23x12x答案(0,1)解析令y1= ,y2= ,则f(x)0即为y1y2.函数y1= ,y2= 的图象如图所示,由图象知:当0x1时,y1y2,所以满足f(x)0的x的取值范围是(0,1).23x12x23x12x三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组考点一二次函数1.(2018苏锡常镇四市教学情况调研(一),14)若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间[1,2]上有两个不同的零点,则 的取值范围为.(1)fa答案[0,1)解析设f(x)在区间[1,2]上的