（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二十章 概率统计 20.1 离散型随机变量及其分布列、均值

第二十章概率统计§20.1离散型随机变量及其分布列、均值和方差高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2019江苏,23,10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},Bn={(0,1),(n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.令Mn=An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).解析本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.(1)当n=1时,X的所有可能取值是1, ,2, .X的概率分布为P(X=1)= = ,P(X= )= = ,P(X=2)= = ,P(X= )= = .(2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点.因为P(X≤n)=1-P(Xn),所以仅需考虑Xn的情况.①若b=d,则AB≤n,不存在Xn的取法;②若b=0,d=1,则AB= ≤ ,所以Xn当且仅当AB= ,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;③若b=0,d=2,则AB= ≤ .因为当n≥3时, ≤n,所以Xn当且仅当AB= ,此时a=0,c=n或a=n,c=0,有2种取法;④若b=1,d=2,则AB= ≤ ,所以Xn当且仅当AB= ,此时a=0,c=n或a=n,c=0,25267C7152264C415262C2155262C2152()1ac21n21n2()4ac24n2(1)4n24n2()1ac21n21n有2种取法.综上,当Xn时,X的所有可能取值是 和 ,且P(X= )= ,P(X= )= .因此,P(X≤n)=1-P(X= )-P(X= )=1- .21n24n21n2244Cn24n2242Cn21n24n2246Cn2.(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X) .()(1)nmnn解析本题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识,考查组合数及其性质,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)解法一:若只考虑球的黑白差异(即同色球之间是不加区别的),编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P= = .解法二:若将所有的球都看作不同的,则P= = .解法三:若只考虑第二次放球,则P= .(2)随机变量X的概率分布为:11CCnmnnmnnmn111AAAmnnmnmnmnnmnnmnX   … … P   … … 1n1n11n21k1mnn1n1nmnCCn1nnmnCCn1n1nmnCCn1k1nmnCCn1nm1nmnCC随机变量X的期望为:E(X)=  · =   · .所以E(X)   =   = (1+ + +…+ )= ( + + +…+ )= ( + +…+ )=…= ( + )= = ,即E(X) .mnkn1k11CCnknmn1Cnmnmnkn1k(1)!(1)!()!knkn1Cnmnmnkn(2)!(1)!()!knkn1(1)Cnmnnmnkn(2)!(2)!()!knkn1(1)Cnmnn21Cnn2Cnn22Cnmn1(1)Cnmnn11Cnn21Cnn2Cnn22Cnmn1(1)Cnmnn1Cnn2Cnn22Cnmn1(1)Cnmnn12Cnmn22Cnmn11C(1)Cnmnnmnn()(1)nmnn()(1)nmnnB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一随机变量及其分布列、超几何分布1.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)= (k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为34337CCCkkX0123P    13512351835435随机变量X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = .(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= .所以,事件A发生的概率为 .135123518354351276767名师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个体数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2.(2017课标全国Ⅲ理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)= =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4.因此X的分布列为216903690257490X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.3.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)= = .(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,P(X=4)= = .因此X的分布列为48510CC51856510CC1424164510CCC5213264510CCC10212364510CCC5211464510CCC142X01234P     1425211021521142X的数学期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1× +2× +3× +4× =2.5211021521142解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的含义,写出X所有可能的取值.②求X取每个值时的概率;③写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理,古典概型概率公式等知识.考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2019浙江改编,7,4分)设0a1.随机变量X的分布列是则当a在(0,1)内增大时,.①D(X)增大;②D(X)减小;③D(X)先增大后减小;④D(X)先减小后增大.X0a1P   131313答案④解析本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差,考查了学生的运算求解能力及逻辑推理能力,考查了数学运算的核心素养.随机变量X的期望E(X)=0× +a× +1× = ,D(X)= × = (a2-a+1)=  + ,当a∈ 时,D(X)单调递减,当x∈ 时,D(X)单调递增.13131313a22211101333aaaa132929212a1610,21,12易错警示本题易出错的地方有两个:①方差公式记忆错误致错;②计算方差时,运算过程出错.2.(2018浙江改编,7,4分)设0p1,随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时,下列说法正确的是.①D(ξ)减小②D(ξ)增大③D(ξ)先减小后增大④D(ξ)先增大后减小ξ012P   1p212p2答案④解析本题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性.由题意得E(ξ)=0× +1× +2× = +p,D(ξ)= · + · + · = [(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2·p]=-p2+p+ =- + .由 得0p1,∴D(ξ)在 上单调递增,在 上单调递减.12p122p122102p12p