（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二十一章 选修4系列 21.3 不等式选讲课件

§21.3不等式选讲高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组考点一绝对值不等式1.(2019江苏,21C,10分)设x∈R,解不等式|x|+|2x-1|2.解析本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.当x0时,原不等式可化为-x+1-2x2,解得x- ;当0≤x≤ 时,原不等式可化为x+1-2x2,即x-1,无解;当x 时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1.综上,原不等式的解集为 .1312121|13xxx或2.(2016江苏,21D,10分)设a0,|x-1| ,|y-2| ,求证:|2x+y-4|a.3a3a证明因为|x-1| ,|y-2| ,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|2· + =a.3a3a3a3a解后反思利用绝对值的三角不等式求最值时,可借助:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|来求解,但一定要注意等号成立的条件.3.(2015江苏,21D,10分)解不等式x+|2x+3|≥2.解析原不等式可化为 或 解得x≤-5或x≥- .综上,原不等式的解集是 .3,232xx3,2332.xx131|53xxx或考点二不等式的证明1.(2018江苏,21D,10分)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值.解析本题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2,因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4,当且仅当 = = 时等号成立,此时x= ,y= ,z= .所以x2+y2+z2的最小值为4.1x2y2z234343思路分析本题是柯西不等式的基本应用.根据( + + )( + + )≥(a1b1+a2b2+a3b3)2来构造(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2,合理而自然.21a22a23a21b22b23b2.(2017江苏,21D,10分)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8.证明本题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力.由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd≤8.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一绝对值不等式1.(2015山东改编,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是.答案(-∞,4)解析①当x1时,原不等式等价于1-x-(5-x)2,即-42,∴x1.②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)2,即x4,∴1≤x4.③当x5时,原不等式等价于x-1-(x-5)2,即42,无解.综合①②③知x4.2.(2019课标全国Ⅱ理,23,10分)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)0,求a的取值范围.解析本题考查不等式的基本性质,绝对值不等式的求解,以及含有参数的绝对值不等式恒成立问题.通过对绝对值不等式的分类讨论考查学生的化归与转化的能力,体现了逻辑推理的核心素养.(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时,f(x)=-2(x-1)20;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1,当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0,所以,a的取值范围是[1,+∞).思路分析(1)当a=1时,求解绝对值不等式只需分类讨论去掉绝对值.(2)首先关注f(a)=0,求得a≥1,这样不需要分类讨论就可以去掉绝对值,得到f(x)=2(a-x)(x-1)0,求解即可.3.(2018课标全国Ⅱ理,23,10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)= 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).24,1,2,12,26,2.xxxxx方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法求解;求含有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.4.(2018课标全国Ⅰ文,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)= 故不等式f(x)1的解集为 .(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a0,|ax-1|1的解集为 ,所以 ≥1,故0a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].2,1,2,11,2,1.xxxx12xx20xxa2a方法技巧1.研究含有绝对值的函数问题时,常根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,从而转化为分段函数来解决.2.对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题,常利用绝对值三角不等式解决.3.不等式的恒成立问题可转化为最值问题.注意:在x∈D上,当f(x)存在最小值时,f(x)a恒成立⇔af(x)min,当f(x)存在最大值时,f(x)a恒成立⇔af(x)max.5.(2018课标全国Ⅲ理,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值. 解析本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题.(1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.13,,212,1,23,1.xxxxxx易错警示对“零点分段法”的理解不到位若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数,通常先把每个绝对值内代数式等于零时的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干段(区间),在每一段区间里,每一个绝对值符号内的代数式的符号确定,此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号.解后反思绝对值不等式问题常见类型及解题策略(1)直接求解不等式,主要利用绝对值的意义、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解.(2)已知不等式的解集求参数值,利用绝对值三角不等式或函数求相应最值,然后再求参数的取值范围.6.(2017课标全国Ⅲ理,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解析本题考查绝对值不等式的解法.(1)f(x)= 当x-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x2时,由f(x)≥1解得x2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=- + ≤ ,且当x= 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= .故m的取值范围为 .3,1,21,12,3,2.xxxx23||2x545432545,47.(2017课标全国Ⅰ理,23,10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.解析本题考查绝对值不等式的求解.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1x≤ .所以f(x)≥g(x)的解集为 .(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].117211712xx方法总结含绝对值不等式问题的常见解法:(1)含绝对值不等式的求解问题,常利用零点分段讨论法或数形结合法求解.(2)与恒成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.8.(2016课标全国Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集. 解析(1)f(x)=  (4分)y=f(x)的图象如图所示. (6分)(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, (8分)4,1,332,1,234,,2xxxxxx13故f(x)1的解集为{x|1x3};f(x)-1的解集为 . (9分)所以|f(x)|1的解集为 . (10分)1|53xxx或1|1353xxxx或或评析本题主要考查利用零点分段法解含有绝对值的不等式,利用数形结合的思想方法求解更为方便、准确.9.(2016课标全国Ⅲ理,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}. (5分)(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x= 时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.① (7分)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞). (10分)12评析本题主要考查了绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题,要f(x)+g(x)≥3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值≥3即可.10.(2015课标全国Ⅰ,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x≤-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x1时,不等式化为3x-20,解得 x1;当x≥1