（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二十一章 选修4系列 21.2 坐标系与参数方程课件

§21.2坐标系与参数方程高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2019江苏,21B,10分)在极坐标系中,已知两点A ,B ,直线l的方程为ρsin =3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.3,42,24θ解析本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.(1)设极点为O.在△OAB中,A ,B ,由余弦定理,得AB= = .(2)因为直线l的方程为ρsin =3,则直线l过点 ,倾斜角为 .又B ,所以点B到直线l的距离为(3 - )×sin =2.3,42,2223(2)232cos2454θ32,2342,2223422.(2018江苏,21C,10分)在极坐标系中,直线l的方程为ρsin =2,曲线C的方程为ρ=4cosθ,求直线l被曲线C截得的弦长.6θ解析本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆, 因为直线l的极坐标方程为ρsin =2,所以直线l过点(4,0),倾斜角为 ,设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB= .6θ66连接OB,因为OA为直径,所以∠OBA= ,所以AB=4cos =2 .因此,直线l被曲线C截得的弦长为2 .2633一题多解把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x- y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C:(x-2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离d= =1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2 =2 .32222Rd33.(2015江苏,21C,10分)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2 ρ·sin -4=0,求圆C的半径.24θ解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2 ρ -4=0,化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为 .222sincos22θθ6考点二参数方程与普通方程的互化1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的参数方程为 (s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.8,2xtty22,22xsys解析本题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识,考查运算求解能力.直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,2 s),从而点P到直线l的距离d= = .当s= 时,dmin= .因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值 .2222|2428|1(2)ss22(2)45s24554552.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的参数方程为 (θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.11,232xtytcos,2sinxθyθ解析椭圆C的普通方程为x2+ =1.将直线l的参数方程 (t为参数)代入x2+ =1,得 + =1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=- .所以AB=|t1-t2|= .24y11,232xtyt24y2112t2324t167167B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2018北京理,10,5分)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=.答案1+ 2解析本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化.由 可将直线ρcosθ+ρsinθ=a化为x+y-a=0,将ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ化为x2+y2=2x,整理成标准方程为(x-1)2+y2=1.又∵直线与圆相切,∴圆心(1,0)到直线x+y-a=0的距离d= =1,解得a=1± ,∵a0,∴a=1+ .222cos,sin,ρθxρθyρxy|1|2a22方法总结这种类型的题目的解法是先将极坐标方程化为直角坐标方程,然后用平面几何知识求解.2.(2017北京理,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.答案1解析本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化.由ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,∴圆心C(1,2),半径r=1,结合图形可知|AP|的最小值为|PC|-r=2-1=1.3.(2017天津理,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos +1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为.6θ答案2解析本题主要考查极坐标与直角坐标的互化以及直线与圆的位置关系.由4ρcos +1=0,得4ρ +1=0,即2 ρcosθ+2ρsinθ+1=0,根据极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为2 x+2y+1=0,同理可得圆的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,圆心(0,1)到直线的距离d= 1,所以直线与圆相交,因此直线与圆的公共点的个数为2.6θ31cossin22θθ3334易错警示1.记错两角差的余弦公式,从而导致错误;2.由于记错极坐标与直角坐标的互化公式,从而求错直线与圆的直角坐标方程,最终失分.4.(2015北京,11,5分)在极坐标系中,点 到直线ρ(cosθ+ sinθ)=6的距离为.2,33答案1解析由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点 对应的直角坐标为(1, ),直线ρ(cosθ+ sinθ)=6对应的直角坐标方程为x+ y=6,由点到直线的距离公式可得,所求距离为 =1.2,333322|1336|1(3)5.(2015重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4 ,则直线l与曲线C的交点的极坐标为.1,1xtyt350,44ρθ答案(2,π)解析直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4(x≤-2),故直线l与曲线C的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,π).6.(2015广东,14,5分)已知直线l的极坐标方程为2ρsin = ,点A的极坐标为A ,则点A到直线l的距离为.4θ2722,4答案 522解析将直线l的极坐标方程2ρsin = 化为直角坐标方程为x-y+1=0.由A 得A点的直角坐标为(2,-2),从而点A到直线l的距离d= = .4θ2722,422|221|1(1)5227.(2019课标全国Ⅲ理,22,10分)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B ,C ,D(2,π),弧 , , 所在圆的圆心分别是(1,0), ,(1,π),曲线M1是弧 ,曲线M2是弧 ,曲线M3是弧 .(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|= ,求P的极坐标. 2,432,4AB︵BC︵CD︵1,2AB︵BC︵CD︵3解析本题考查极坐标的概念,求极坐标方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求解能力,以求极坐标方程、求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养.(1)由题设可得,弧 , , 所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ ,M2的极坐标方程为ρ=2sinθ ,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ .(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0≤θ≤ ,则2cosθ= ,解得θ= ;若 ≤θ≤ ,则2sinθ= ,解得θ= 或θ= ;若 ≤θ≤π,则-2cosθ= ,解得θ= .综上,P的极坐标为 或 或 或 .AB︵BC︵CD︵04θ344θ34θ4364343323343563,63,323,353,68.(2019课标全国Ⅱ理,22,10分)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ00)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0= 时,求ρ0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.3解析本题考查极坐标方程、曲线方程等知识,考查学生在极坐标系下的运算能力,体现了数学运算的核心素养.(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0= 时,ρ0=4sin =2 .由已知得|OP|=|OA|cos =2.设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中,ρcos =|OP|=2.经检验,点P 在曲线ρcos =2上.所以,l的极坐标方程为ρcos =2.(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是 .33333θ2,33θ3θ,42所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈ .,42思路分析(1)将θ0= 代入ρ=4sinθ求得ρ0.由ρ0可求得|OP|,从而求得l的极坐标方程.(2)设点P(ρ,θ),用ρ,θ表示出Rt△AOP中的边角关系,从而求出P点轨迹的极坐标方程.3解题关键熟练应用极坐标系中的ρ,θ是解题关键.9.(2018课标全国Ⅰ文,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以 =2,故k=- 或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=- 时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以 =2,故k=0或k= .经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k= 时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=- |x|+2.2|2|1kk43432|2|1kk434343方法技巧极坐标方程与直角坐标方程互化的技巧:(1)巧用极坐标方程两边同乘ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcosθ,ρ