（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积课件

§5.3平面向量的数量积第五章平面向量、复数KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.向量的夹角ZHISHISHULI已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是_______.∠AOB[0，π]2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影叫做向量a在b方向上的投影，叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积|a||b|·cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ拓展：向量数量积不满足：①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c).3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝.(3)(a＋b)·c＝.a·(λb)＝λa·ba·c＋b·c4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝_____|a|＝________夹角cosθ＝_____cosθ＝a⊥b的充要条件____________________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤____|x1x2＋y1y2|≤a·ax21＋y21a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a||b|x21＋y21x22＋y22【概念方法微思考】1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.(4)两个向量的夹角的范围是0，π2.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1234561.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(3)(a·b)c＝a(b·c).()(5)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角.()√××××题组二教材改编1234562.[P90T18]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝_____.12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3.[P89T8]已知两个单位向量e1，e2的夹角为.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝_____.π3123456则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.－6解析b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝π3，所以b1·b2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.题组三易错自纠123456解析方法一|a＋2b|＝a＋2b24.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____.23＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|.123456解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.5.已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角的大小为_____.2π3又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6.已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.123456－32解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b＋b·c＋a·c＝－32.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一平面向量数量积的基本运算自主演练1.(2018·全国Ⅱ改编)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝_____.3解析a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.2.(2018·苏北四市调研)已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝_____.π3解析由题意可得a·b＝|a|·|b|cosπ3＝3，61所以|2a－3b|＝2a－3b2＝4|a|2＋9|b|2－12a·b＝16＋81－36＝61.3.(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________.34.(2018·江苏淮安清江中学调研)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D为BC边上的点，且AD→·BC→＝0，CE→＝2EB→，则AD→·AE→＝________.1思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.题型二平面向量数量积的应用多维探究例1(1)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且AB→·CD→＝－5，则|BD→|＝_____.命题点1求向量的模与夹角3∴cosα＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.(2)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为____.π3解析由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，(3)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为____.4例2在平面直角坐标系xOy中，已知向量AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，且AD→∥BC→.命题点2平面向量的平行与垂直(1)求x与y之间的关系式；解由题意得AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(x＋4，y－2)，BC→＝(x，y).因为AD→∥BC→，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0，即x＋2y＝0.(2)若AC→⊥BD→，求四边形ABCD的面积.思维升华(1)求解平面向量模的方法①利用公式|a|＝x2＋y2.②利用|a|＝a2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π].②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.跟踪训练1(1)(2018·江苏无锡梅村高中模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，△BCD是等边三角形，若AC→·BD→＝1，则AD的长为________.6(2)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________.0，233解析设在△ABC中，a＝|β|＝1，A＝60°，|α|＝c，由正弦定理得asinA＝csinC，则asinCsinA＝c，即c＝233sinC.又0sinC≤1，即c的取值范围是0，233，则α的模的取值范围是0，233.①若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(3)设a，b，c是同一平面内的三个向量，a＝(1,2).解因为c∥a，设c＝λa＝(λ，2λ)，又|c|＝25，所以5λ2＝20，解得λ＝±2，所以c＝(2,4)或(－2，－4).②若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解因为(a＋2b)·(2a－b)＝0，所以2a2－a·b＋4a·b－2b2＝0，解得a·b＝－52，即5·52·cosθ＝－52，又0≤θ≤π，所以θ＝π.题型三平面向量与三角函数师生共研例3如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且B－35，45，∠AOB＝α，∠AOP＝θ(0θπ)，OQ→＝OA→＋OP→，四边形OAQP的面积为S.(1)求cosα＋sinα；解∵B－35，45，∠AOB＝α，∴cosα＝－35，sinα＝45，∴cosα＋sinα＝15.(2)求OA→·OQ→＋S的最大值及此时θ的值θ0.解由已知得A(1,0)，P(cosθ，sinθ)，∴OQ→＝(1＋cosθ，sinθ)，OA→·OQ→＝1＋cosθ，又S＝sinθ，∴OA→·OQ→＋S＝sinθ＋cosθ＋1＝2sinθ＋π4＋1，又0θπ，∴π4θ＋π45π4，∴－22sinθ＋π4≤1，则OA→·OQ→＋S的最大值为2＋1，此时θ0＝π2－π4＝π4.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；解因为m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即22sinx－22cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)若m与n的夹角为π3，求x的值.解因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cosπ3＝12，即22sinx－22cosx＝12，所以sinx－π4＝12，因为0xπ2，所以－π4x－π4π4，所以x－π4＝π6，即x＝5π12.3课时作业PARTTHREE1.在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，则AB→·AC→＝_____.基础保分练12345678910111213141516－2解析由余弦定理得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝22＋22－2322×2×2＝－12，所以AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝2×2×－12＝－2.123456789101112131415162.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|2a－b|＝_____.22解析根据题意，|a－b|＝3＋2＝5，则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，则2a－b＝22.123456789101112131415163.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为_____.－1解析向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，则ka－2b＝k－4，k＋6.若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝