（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算课

§5.1平面向量的概念及线性运算第五章平面向量、复数KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________.(2)零向量：长度为的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于的向量.(4)平行向量：方向相同或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线.(5)相等向量：长度相等且方向的向量.(6)相反向量：长度相等且方向的向量.知识梳理1.向量的有关概念ZHISHISHULI方向长度(或称模)01个单位长度相反相同相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝；结合律：(a＋b)＋c＝_________减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝，当λ0时，λa与a的方向；当λ0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝___λ(μa)＝_____；(λ＋μ)a＝______；λ(a＋b)＝_______|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减.3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得______.b＝λa【概念方法微思考】1.若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2.如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ0时，λa与a同方向；当λ0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定.3.如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.()√√××√×题组二教材改编1234562.[P72T8]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝______，BC→＝_______.(用a，b表示)b－a－a－b解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.1234563.[P73T13]在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为______.矩形解析如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD是矩形.题组三易错自纠1234564.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)充分不必要解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.123456则λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.5.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____.12解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，6.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.12345612解析∵DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.2题型分类深度剖析PARTTWO④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中真命题的序号是_____.题型一平面向量的概念自主演练③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；1.给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③2.给出下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确命题的个数是____.1解析只有④正确.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.题型二平面向量的线性运算多维探究例1(1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB→＝a，AD→＝b，则向量BF→＝________.(用向量a，b表示)命题点1向量的线性运算－13a＋23b解析BF→＝23BE→＝23(BC→＋CE→)＝23b－12a＝－13a＋23b.(2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则用向量AB→，AC→表示EB→为________________.EB→＝34AB→－14AC→解析作出示意图如图所示.EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝____.命题点2根据向量线性运算求参数34解析∵E为线段AO的中点，∴BE→＝12BA→＋12BO→＝12BA→＋1212BD→＝12BA→＋14BD→＝λBA→＋μBD→，∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE→＝AD→＋μAB→，则μ的取值范围是________.0，12解析由题意可求得AD＝1，CD＝3，∴AB→＝2DC→.∵点E在线段CD上，∴DE→＝λDC→(0≤λ≤1).∵AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋λDC→，又AE→＝AD→＋μAB→＝AD→＋2μDC→，∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.跟踪训练1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→＝__________.(用向量a，b表示)－13a－512b解析DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b.(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB→＝xAE→＋yAF→(x，y∈R)，则x－y＝_____.2解析由题意得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12AD→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12AB→，因为AB→＝xAE→＋yAF→，所以AB→＝x＋y2AB→＋x2＋yAD→，所以x＋y2＝1，x2＋y＝0，解得x＝43，y＝－23，所以x－y＝2.题型三共线定理的应用师生共研例3(1)已知D为△ABC的边AB的中点.点M在DC上且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积比为________.3∶5解析由5AM→＝AB→＋3AC→，得2AM→＝2AD→＋3AC→－3AM→，即2(AM→－AD→)＝3(AC→－AM→)，即2DM→＝3MC→，故DM→＝35DC→，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，则1n＋1m的值为_____.3思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线.跟踪训练2如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝13AC；在AB上取一点M，使AM＝13AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN；在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值.3课时作业PARTTHREE1.设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，真命题的个数是___.基础保分练123456789101112131415160解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.123456789101112131415162.在四边形ABCD中，若AC→＝AB→＋AD→，则四边形ABCD的形状是___________.平行四边形解析依题意知AC是以AB，AD为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD是平行四边形.＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.123456789101112131415163.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝________.23b＋13c解析如图，因为在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，且点D满足BD→＝2DC→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(AC→－AB→)12345678910111213141516故γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22.4.(2018·江苏省镇江一中月考)已知e1，e2是一对不共线的非零向量，若a＝e1＋λe2，b＝－2λe1－e2，且a，b共线，则λ＝_____.±22解析∵a，b共线，∴b＝γa＝γe1＋γλe2＝－2λe1－e2，123456789101112131415165.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝______.(用向量a，b表示)解析连结OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半