（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换（第

§4.5简单的三角恒等变换第四章三角函数、解三角形KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，此处为C级要求，填空、解答题均有可能出现，中低档难度.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式ZHISHISHULIcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝(C(α＋β))sin(α－β)＝(S(α－β))sin(α＋β)＝(S(α＋β))tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ2.二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α提示先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质.【概念方法微思考】提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形.1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？2.怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx函数的性质？(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456(2)对任意角α都有1＋sinα＝sinα2＋cosα22.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.()且对任意角α，β都成立.()√√××题组二教材改编1234562.[P109T6]若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝.－7210解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°123456＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.3.[P111T2]sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.221234564.[P117T1]tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝.3解析∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3.题组三易错自纠1234565.化简：1－2sin40°cos40°cos40°－1－sin250°＝.1解析因为sin40°cos40°，所以sin40°－cos40°0.所以1－2sin40°cos40°cos40°－1－sin250°＝sin40°－cos40°2cos40°－cos50°2＝|sin40°－cos40°|cos40°－|cos50°|＝cos40°－sin40°cos40°－sin40°＝1.6.化简：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝.1234564sinα解析2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα121＋cosα＝4sinα1＋cosα1＋cosα＝4sinα.7.已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝.123456－2472题型分类深度剖析PARTTWO第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用自主演练1.若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为.－429解析因为sin(π－α)＝sinα＝13，π2≤α≤π，所以cosα＝－1－sin2α＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×13×－223＝－429.2.已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为.1解析∵tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，∴tan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.3.(2018·江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)是直线y＝3x＋2上的两点，则tan(α＋β)的值为.－34.计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为.12解析sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.题型二和差公式的灵活应用多维探究例1(1)设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝.命题点1角的变换2525解析依题意得sinα＝1－cos2α＝255，因为sin(α＋β)＝35sinα且α＋βα，所以α＋β∈π2，π，所以cos(α＋β)＝－45.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2×35×45＝2425.(2)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π3的值为.2425解析因为α为锐角，且cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝35，所以sin2α＋π3＝sin2α＋π6(3)(2019·如皋调研)已知cosα＝55，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tanβ的值为.－3解析∵cosα＝55，α∈(－π，0)，∴sinα＝－255，∴tanα＝－2，故tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝1－－21＋1×－2＝－3.例2(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；命题点2三角函数式的变换(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.化简：1＋sinθ－cosθsinθ2－cosθ22－2cosθ(0θπ).引申探究例3(1)已知sinα＋cosβ＝13，sinβ－cosα＝12，则sin(α－β)＝.命题点3公式的逆用与变形－5972(2)已知α－β＝π3，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为.33－12解析∵tanα－tanβ＝sinαcosα－sinβcosβ＝sinα－βcosαcosβ＝3，且α－β＝π3，∴cosαcosβ＝36，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝12，∴sinαsinβ＝12－36，那么cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝33－12.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等.跟踪训练(1)计算：cos10°－3cos－100°1－sin10°＝.(用数字作答)2解析cos10°－3cos－100°1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40°＝2sin10°＋30°2·sin40°＝2.(2)已知α∈0，π2，β∈0，π2，且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sinβ＝.32解析由已知可得sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－－1114×437＝32.(3)若3sinx＋cosx＝23，则tanx＋7π6＝.±24解析由3sinx＋cosx＝23，得2sinx＋π6＝23，即sinx＋π6＝13，所以cosx＋π6＝±223，所以tanx＋π6＝±24，即tanx＋7π6＝tanx＋π6＝±24.思想方法SIXIANGFANGFA用联系的观点进行三角变换三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.例(1)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为.17250解析∵α为锐角且cosα＋π6＝450，∴α＋π6∈π6，π2，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1(2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为.2解析原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.(3)已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝.－75解析cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45，∴原式＝－75.(4)已知cosπ6－θ＝33，则cos5π6＋θ－sin2θ－π6＝.－2－33解析由题意可知cos5π6