（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式第四章三角函数、解三角形KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为填空题，低档难度．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.同角三角函数的基本关系ZHISHISHULI(1)平方关系：.(2)商数关系：.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋α－α＋α正弦sinα___________________________余弦cosα____________________________正切tanα______－tanα_____口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限π2π2－sinαcosα－tanαsinα－cosα－sinαcosαcosα－cosαsinα－sinαtanα【概念方法微思考】1.使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号.2.诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.π2(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()××××7题组二教材改编1234562.[P18T3]若sinα＝55，π2απ，则tanα＝.－12解析∵π2απ，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝－12.71234563.[P22T1]已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为.3解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.71234564.[P22T4]化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为.－sin2α解析原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.7题组三易错自纠1234565.已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为.－23解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，∴sinθ－cosθ＝－23.76.已知α为锐角，cos32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝.123456－35解析∵cos32π＋α＝sinα＝45，且α为锐角，∴cosα＝35，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－35.77.已知cosα＝15，－π2α0，则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα的值为.123456612解析∵－π2α0，∴sinα＝－1－152＝－256，∴tanα＝－26.则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα＝－sinαtanα·cosα·tanα＝－1tanα＝126＝612.72题型分类深度剖析PARTTWO题型一同角三角函数基本关系式的应用自主演练1.已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tanα＝.－125解析因为α是第四象限角，sinα＝－1213，所以cosα＝1－sin2α＝513，故tanα＝sinαcosα＝－125.2.若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝.6425解析tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.3.若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为.－3解析由角α的终边落在第三象限，得sinα0，cosα0，故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.4.已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝.－1解析由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sinα，得2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.sinαcosα题型二诱导公式的应用师生共研例1(1)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是.{2，－2}解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.∴A的值构成的集合是{2，－2}.＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝.－1解析原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.跟踪训练1(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝.解析由已知得tanθ＝3，32∴sin3π2＋θ＋2cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝－cosθ－2cosθcosθ－sinθ＝－31－tanθ＝32.∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.(2)已知f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(sinα≠0,1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝.3解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用师生共研例2(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是.31010解析由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，故sinα＝31010.(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.①求sinx－cosx的值；解由已知，得sinx＋cosx＝15，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，由－πx0知，sinx0，又sinxcosx＝－12250，∴cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.②求sin2x＋2sin2x1－tanx的值.解sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.引申探究解若0xπ，又2sinxcosx＝－2425，本例(2)中若将条件“－πx0”改为“0xπ”，求sinx－cosx的值.∴sinx0，cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝75.思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.跟踪训练2(1)(2018·南京模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－22，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ＝.23(2)已知sinα＝255，则tan(π＋α)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝.52或－523课时作业PARTTHREE又α是第四象限角，所以sinα＝－513.1.已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα＝.基础保分练12345678910111213141516－513解析因为tanα＝－512，所以sinαcosα＝－512，所以cosα＝－125sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±513，所以sinα＋π2＝cosα＝－45.123456789101112131415162.已知tan(α－π)＝34，且α∈π2，3π2，则sinα＋π2＝.－45解析tan(α－π)＝tanα＝34，由sinαcosα＝34，sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝±45.又因为α∈π2，3π2，所以cosα＝－45，12345678910111213141516解析由题意可得，2cos2x－3cosx－2＝0，解得cosx＝－12或cosx＝2(舍去).3.满足等式cos2x－1＝3cosx(x∈[0，π])的x的值为.2π3又x∈[0，π]，故x＝2π3.123456789101112131415164.sin43π·cos56π·tan－43π的值是.－334解析原式＝sinπ＋π3·cosπ－π6·tan－π－π3＝－sinπ3·－cosπ6·－tanπ3＝－32×－32×(－3)＝－334.＝0＋12－12＋12＝12.123456789101112131415165.(2019·江苏省扬州中学月考)设函数f(x)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f23π6＝.12解析∵函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0