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§10.5古典概型第十章算法、统计与概率KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析古典概型每年都会考查，主要考查实际背景下的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查，其中计数的方法局限于枚举法.常以填空题形式出现，属于中低档题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_____的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_________的和.2.古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为_________.(1)所有的基本事件___________；(2)每个基本事件的发生都是_________.ZHISHISHULI互斥基本事件古典概型只有有限个等可能的3.如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是___.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝___.1nmn4.古典概型的概率公式P(A)＝_______________________.A包含的基本事件的个数基本事件的总数【概念方法微思考】1.任何一个随机事件与基本事件有何关系？提示任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和.2.如何判断一个试验是否为古典概型？提示一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1234561.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型.()×××7123456(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.()(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.()nm13√√√7解析从A，B，C三名同学中选2名为代表，有AB，AC，BC三种可能，123456则A被选中的概率为23.题组二教材改编2.[P103练习T6]从A，B，C三名同学中选2名为代表，则A被选中的概率为___.237123456∴所求概率为46＝23.3.[P101例3]一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是___.解析抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种.2374.[P103练习T4]袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为___.123456则所求概率为P＝615＝25.解析从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，257123456所以点数不相同的概率为P＝1－66×6＝56.5.[P103习题T4]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为___.56解析掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，7因此2本数学书相邻的概率为P＝46＝23.题组三易错自纠6.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为___.12345623解析设两本不同的数学书为a1，a2，1本语文书为b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种.7所以所求的概率为69＝23.7.已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为___.12345623解析要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0有两个实根，则Δ＝4a2－4b20，又a∈{4,6,8}，b∈{3,5,7}，即ab，而a，b的取法共有3×3＝9(种)，其中满足ab的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，72题型分类深度剖析PARTTWO题型一基本事件与古典概型的判断自主演练1.下列试验中，古典概型的个数为___.①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率.1解析①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；③符合古典概型的特点，是古典概型.2.有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数.试写出：(1)试验的基本事件；解这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；解事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件.解事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).3.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.题型二古典概型的求法师生共研∴所求概率P＝1025＝25.例1(1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___.25解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故P(A)＝56.(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为___.56解析设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A包含5种，故所求事件的概率为610＝35.(3)(2018·无锡模拟)从3男2女共5名学生中任选2名参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为___.35解析记3名男生分别为x1，x2，x3,2名女生分别为y1，y2，则从3男2女共5名学生中任选2名包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个.其中选出的2人恰好为1男1女包含6个基本事件，分别为(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2).1.本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率.引申探究解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P(A)＝46＝23.故所求概率P＝616＝38.2.本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率.解基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.跟踪训练1某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；解由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15.(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝29.题型三古典概型与统计的综合应用师生共研例2某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；解(1)由题意知，样本数据的平均数x＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12.解样本中优秀服务网点有2个，概率为26＝13，(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13＝30(个).故所求概率P(M)＝815.(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.解样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1