（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用（第1课时）课件

§3.2导数的应用第三章导数及其应用KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、数列、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.函数的单调性ZHISHISHULI在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程的根；③考查f′(x)在方程的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)＝0f′(x)＝0极大值极小值3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)【概念方法微思考】1.“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的___________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)必要不充分基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1234561.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(2)函数的极大值一定大于其极小值.()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()√×√78910题组二教材改编123456解析令y′＝3x2＋2x－50，得x－53或x1.2.[P29T1]函数y＝x3＋x2－5x－5的单调增区间是_______________________.－∞，－53，(1，＋∞)789101234563.[P31T1]函数y＝3x3－9x＋5的极大值为_____.11解析y′＝9x2－9，令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗从上表可以看出，当x＝－1时，函数y取得极大值为3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.78910123456解析令f′(x)＝1－2cosx0，得cosx12，4.[P34T2]函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调增区间为________.π3，π又x∈(0，π)，所以π3xπ，所以f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调增区间为π3，π.789101234565.[P34T4]函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值是__________.π6＋3解析∵y′＝1－2sinx，∴当x∈0，π6时，y′0；当x∈π6，π2时，y′0.∴当x＝π6时，ymax＝π6＋3.78910123456题组三易错自纠6.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)2(x∈R)，则不等式f(x)2x＋1的解集为____________.(1，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－20，∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)0＝g(1)，得x1.∴不等式的解集为(1，＋∞).789101234567.函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.[－3,0]解析f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0].789101234568.若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为____.－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.789101234569.若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，当x∈(2,3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.7891010.已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________.12345632，4解析f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此f′1＝3－2a0，f′2＝8－2a0，解得32a4，故实数a的取值范围为32，4.789102题型分类深度剖析PARTTWO第1课时导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性自主演练1.函数y＝4x2＋1x的单调增区间为________.12，＋∞解析由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2(x≠0)，令y′0，即8x－1x20，解得x12，∴函数y＝4x2＋1x的单调增区间为12，＋∞.2.函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调增区间是_____________.(e－1，＋∞)解析由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)0，解得xe－1，所以函数f(x)的单调增区间是(e－1，＋∞).3.已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调减区间是________.0，1e解析因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，当f′(x)0时，解得0x1e，即函数f(x)的单调减区间为0，1e.解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，π2，4.已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调增区间是__________________.－π，－π2和0，π2即f(x)的单调增区间为－π，－π2和0，π2.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f′(x).(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调增区间.(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调减区间.题型二含参数的函数的单调性师生共研例1已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间.思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.跟踪训练1讨论函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x的单调性.题型三函数单调性的应用多维探究例2(1)(2018·江苏省阜宁中学调研)对于定义在R上的可导函数f(x)，当x∈(1，＋∞)时，(x－1)f′(x)－f(x)0恒成立.已知a＝f(2)，b＝12f(3)，c＝(2＋1)f(2)，则a，b，c的大小关系为__________.(用“”连接)命题点1比较大小或解不等式cab(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x0时，xf′(x)－f(x)0.若a＝fee，b＝fln2ln2，c＝f33，则a，b，c的大小关系是________.(用“”连接)cab(3)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数.若2f(m－2019)(m－2019)f(2)，则实数m的取值范围为___________.(2019,2021)解析令h(x)＝fxx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xf′x－fxx2.∵xf′(x)－f(x)0，∴h′(x)0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2019)(m－2019)f(2)，m－20190，∴fm－2019m－2019f22，即h(m－2019)h(2).∴m－20192且m－20190，解得2019m2021.∴实数m的取值范围为(2019,2021).(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x0时，有xf′x－fxx20恒成立，则不等式x2f(x)0的解集是__________________.(－∞，－2)∪(0,2)解析∵当x0时，fxx′＝x·f′x－fxx20，∴φ(x)＝fxx在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0x2时，φ(x)0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，∴在(－∞，0)上，当x－2时，f(x)0，此时x2f(x)0.故x2f(x)0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).例3已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0).命题点2根据函数单调性求参数(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.解因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立.由(1)知G(x)＝1x2－2x，所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，又因为a≠0，所以a的取值范围是－716，0∪(0，＋∞).解因为h(x)在[1,4]上单调递增，所以当x∈[1,4]时，h′(x)≥0恒成立，引申探究所以当x∈[1,4]时，a≤1x2－2x恒成立，本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围.又当x∈[1,4]时，1x2－2xmin＝－1(此时x＝1)，所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1].思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x