（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.4 基本不等式

§7.4基本不等式及其应用第七章不等式、推理与证明、数学归纳法KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理ZHISHISHULI1.基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)基本不等式成立的条件：___________.(2)等号成立的条件：当且仅当_____时取等号.a≥0，b≥0a＝b2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥____(a，b∈R).a＋b222ab(2)ba＋ab≥__(a，b同号).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.2(3)ab≤_______(a，b∈R).(4)a2＋b22≥______(a，b∈R).a＋b22设a0，b0，则a，b的算术平均数为_____，几何平均数为_____，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x＋y有最___值____.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_____时，xy有最___值___.(简记：和定积最大)a＋b2x＝yab3.算术平均数与几何平均数小2px＝y大p24【概念方法微思考】1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.提示不是.因为函数y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当x0时，y0，所以函数y＝x＋1x无最小值.2.函数y＝x＋1x的最小值是2吗？基础自测JICHUZICE题组一思考辨析123456(1)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.()(2)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件.()(3)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.()(4)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件.()1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)×(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.()×××√题组二教材改编1234562.[P88T4]设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为____.81解析∵x0，y0，∴x＋y2≥xy，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.即xy≤x＋y22＝81，1234563.[P89例1]若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是___m2.25则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，解析设矩形的一边为xm，∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题组三易错自纠1234561x4.“x0”是“x＋≥2成立”的_____条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)充要解析当x0时，x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1时等号成立).因为x，1x同号，所以若x＋1x≥2，则x0，1x0，所以“x0”是“x＋1x≥2成立”的充要条件.1234565.若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a＝___.3f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，解析当x2时，x－20，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.1234566.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是___.5解析由3x＋y＝5xy，得3x＋yxy＝3y＋1x＝5，故4x＋3y的最小值为5.所以4x＋3y＝(4x＋3y)·153y＋1x＝154＋9＋3yx＋12xy≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3yx＝12xy，即y＝2x＝1时，“＝”成立，2题型分类深度剖析PARTTWO题型一利用基本不等式求最值多维探究命题点1配凑法例1(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为___.23解析x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号.(2)函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________.23＋2∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1解析∵x1，∴x－10，＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立.(3)函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值为___.15解析y＝x－1x－1＋4＋x－1，当x－1＝0时，y＝0，当x－10时，y＝1x－1＋4x－1＋1≤14＋1＝15，∴当且仅当x－1＝4x－1等号成立，即x＝5时，ymax＝15.例2(1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知x0，y0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值为________.命题点2常数代换法3＋22解析由x0，y0，得(x＋y)1x＋2y＝3＋yx＋2xy≥3＋22，当且仅当y＝2x时等号成立，又1x＋2y＝1，则x＋y≥3＋22，所以x＋y的最小值为3＋22.(2)已知正数x，y满足x＋y＝1，则4x＋2＋1y＋1的最小值为___.94∴4x＋2＋1y＋1＝14[(x＋2)＋(y＋1)]4x＋2＋1y＋1解析正数x，y满足(x＋2)＋(y＋1)＝4，＝145＋x＋2y＋1＋4y＋1x＋2≥145＋2x＋2y＋1·4y＋1x＋2＝94，当且仅当x＝2y＝23时，4x＋2＋1y＋1min＝94.例3已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b的最小值为____.命题点3消元法145思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法.跟踪训练1(1)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋1＋1b＋c的最小值是___.3∴4a＋1＋1b＋c＝13·(a＋1＋b＋c)·4a＋1＋1b＋c解析∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋10，b＋c0.＝135＋4b＋ca＋1＋a＋1b＋c≥13(5＋4)＝3.当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立.(2)(2018·苏北四市考试)已知实数x，y满足x2＋y2＝3，|x|≠|y|，则12x＋y2＋4x－2y2的最小值是___.35解析由已知可得2x＋y2＋x－2y215＝1，∴12x＋y2＋4x－2y2＝2x＋y2＋x－2y215×12x＋y2＋4x－2y2＝1155＋x－2y22x＋y2＋42x＋y2x－2y2≥115(5＋4)＝35，当且仅当|x－2y|＝2|2x＋y|时取等号.(3)若实数x，y满足xy＋3x＝30x12，则3x＋1y－3的最小值为___.8解析由已知得，x＝3y＋3，又0x12，可得y3，∴3x＋1y－3＝y＋3＋1y－3＝y－3＋1y－3＋6≥2y－3·1y－3＋6＝8，当且仅当y＝4x＝37时，3x＋1y－3min＝8.题型二基本不等式的实际应用师生共研例4某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元).当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解当0x80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x对称轴为x＝60，即当x＝60时，L(x)max＝950万元；≤1200－210000＝1000(万元)，当且仅当x＝100时，L(x)max＝1000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大.思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.跟踪训练2(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是____.解析一年的总运费为6×600x＝3600x(万元).30一年的总存储费用为4x万元.总运费与总存储费用的和为3600x＋4x万元.因为3600x＋4x≥23600x·4x＝240，当且仅当3600x＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.题型三基本不等式的综合应用多维探究例5在△ABC中，点P满足BP→＝2PC→，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM—→＝mAB→，AN—→＝nAC→(m0，n0)，则m＋2n的最小值为____.命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题3例6已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为___.命题点2求参数值或取值范围4∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴a≥4，当且仅当y＝ax时，等号成立，∵1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于9，解析已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，即正实数a的最小值为4.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练3(1)在△ABC中，A＝π6，△ABC的面积为2，则2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC的最小值为____.32(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则8a＋bab的最小值是___.9数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题.过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO利用基本不等式求解实际问题例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解∵