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微专题四常见“隐形圆”问题第九章平面解析几何例1(1)如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是_________.－65，0解析到原点距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，故此单位圆和已知圆相交，∴2－12a2＋a＋322＋1，∴15a2＋6a＋99，解得－65a0.一、利用圆的定义确定隐形圆(2)(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为__________________.[6－2，6＋2]跟踪训练1(2018·苏北四市模拟)已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝3，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|PA—→＋PB—→|的取值范围是______.[7,13]二、动点P对两定点张角为90°确定隐形圆例2(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m0)，若圆上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的取值范围是______.[4,6]解析∵P在以AB为直径的圆上(P异于A，B)，∴以AB为直径的圆和⊙C有公共点，∴m－1≤5≤m＋1，∴4≤m≤6.(2)(2019·江苏省徐州市第一中学月考)若实数a，b，c成等差数列且点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是________.此圆的圆心A的坐标为1－12，－2＋02，5＋2解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即0＝a－2b＋c，方程ax＋by＋c＝0恒过点Q(1，－2)，又因为点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，所以∠PMQ＝90°，M在以PQ为直径的圆上，即A(0，－1)，半径r＝12PQ＝2，又因为N(3,3)，所以AN＝5，所以(MN)max＝5＋2.解析l1过定点O(0,0)，l2过定点A(2，－4)，则P在以OA为直径的圆上(P异于O，A)，跟踪训练2(2018·江苏省通州区检测)设m∈R，直线l1：x＋my＝0与直线l2：mx－y－2m－4＝0交于点P(x0，y0)，则x20＋y20＋2x0的取值范围是______________________.[12－410，12＋410]又x20＋y20＋2x0＝(x0＋1)2＋y20－1，又t＝x0＋12＋y20表示点(－1,0)到圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5上的点的距离，∴tmax＝22＋5，tmin＝22－5，∴(x20＋y20＋2x0)max＝(22＋5)2－1＝12＋410，(x20＋y20＋2x0)min＝(22－5)2－1＝12－410，故所求范围是[12－410，12＋410].三、A，B是两定点，动点P满足PA—→·PB—→＝λ(常数)确定隐形圆例3(2018·南通考试)已知点A(2,3)，点B(6，－3)，点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足等式AP—→·BP—→＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是______.λ2解析设P(x，y)，则AP—→＝(x－2，y－3)，BP—→＝(x－6，y＋3)，根据AP—→·BP—→＋2λ＝0，有(x－4)2＋y2＝13－2λλ132.由题意知，圆(x－4)2＋y2＝13－2λλ132与直线3x－4y＋3＝0相交，圆心到直线的距离d＝|3·4－4·0＋3|32＋42＝313－2λ，所以λ2.解析设A(－1,0)，B(1,0)，C(x，y)，由已知可得(x＋1)(x－1)＋y2＝λ，∴x2＋y2＝1＋λ.跟踪训练3已知线段AB的长为2，动点C满足CA—→·CB—→＝λ(λ为常数)，且点C总不在以点B为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的取值范围是___________.－1，－34∴λ0，1＋λ≥0，1＋λ＋12≤1或1＋λ－12≥1，解得－1≤λ≤－34.四、两定点A，B，动点P满足PAPB＝λ(λ0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)例4(2019·江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(4,0)，若在圆C：(x－a)2＋(y－2a)2＝9上存在点P使得PA＝12PB，则实数a的取值范围是_______________________.－5，－55∪55，5跟踪训练4(2019·江苏省启东中学考试)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋y－b＝0上，过P点分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是__________.3－203，4