第3课时证明与探索性问题第九章高考专题突破五高考中的解析几何问题NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业1PARTONE题型分类深度剖析题型一证明问题师生共研例1设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP—→=2NM—→.(1)求点P的轨迹方程;解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),NP—→=(x-x0,y),NM—→=(0,y0).由NP—→=2NM—→得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)设点Q在直线x=-3上,且OP—→·PQ—→=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直接法或反证法.(1)求椭圆T的方程;跟踪训练1已知椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点A(0,1),离心率e=63,圆C:x2+y2=4,从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM,PN.解由题意可知b=1,ca=63,即2a2=3c2,又a2=b2+c2,联立解得a2=3,b2=1.∴椭圆方程为x23+y2=1.(2)求证:PM⊥PN.题型二探索性问题师生共研例2(2018·苏北三市模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P在x轴上方).x24+y23=1(1)若QF=2FP,求直线l的方程;解由(1)知,y1+y2=-6m4+3m2,y1y2=-94+3m2,(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2.是否存在常数λ,使得k1=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.所以my1y2=-9m4+3m2=32(y1+y2),所以k1k2=y1x1+2·x2-2y2=y1my2-1y2my1+3=32y1+y2-y132y1+y2+3y2=13,故存在常数λ=13,使得k1=13k2.思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.跟踪训练2(2018·扬州期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+(y-2)2=1,且圆C与y轴交于M,N两点(点N在点M的上方),直线l:y=kx(k0)与圆C交于A,B两点.(1)若AB=255,求实数k的值;(2)设直线AM,直线BN的斜率分别为k1,k2,是否存在常数a使得k1=ak2恒成立?若存在,求出a的值.若不存在,请说明理由;(3)若直线AM与直线BN相交于点P,求证:点P在一条定直线上.证明设P(x0,y0),∴y0=k1x0+1,y0=k2x0+3且k1≠k2,∴x0=2k1-k2,y0=3k1-k2k1-k2.由(2)知k2=-3k1,代入得y0=3k1--3k1k1--3k1=32为定值.∴点P在定直线y=32上.2课时作业PARTTWO基础保分练123451.(2018·苏州期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;6(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2),若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.123456123452.(2018·江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-3)2+(y+2)2=4,圆C2:(x+m)2+(y+m+5)2=2m2+8m+10(m∈R,且m≠-3).(1)设P为坐标轴上的点,满足:过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线,切点分别为T1,T2,使得PT1=PT2,试求出所有满足条件的点P的坐标;6(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1,求证:直线l与圆C2总相交.12345612345(1)求椭圆C的标准方程;3.(2018·宿州检测)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=32,以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45.6(2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,是否存在直线l0:x=x0(x02),使得A,B到直线l0的距离dA,dB满足恒成立,若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.dAdB=PAPB123456123454.已知椭圆(ab0)的长轴长与短轴长之和为6,椭圆上任一点到两焦点F1,F2的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程;x2a2+y2b2=1解由题意,2a=4,2a+2b=6,∴a=2,b=1.∴椭圆的标准方程为x24+y2=1.6(2)若直线AB:y=x+m与椭圆交于A,B两点,C,D在椭圆上,且C,D两点关于直线AB对称,问:是否存在实数m,使,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.AB=2CD12345612345(1)求直线ON的斜率kON;技能提升练5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点,O为坐标原点.6(2)求证:对于椭圆C上的任意一点M,都存在θ∈[0,2π),使得OM—→=cosθOA—→+sinθOB—→成立.123456(1)求椭圆E的方程;拓展冲刺练6.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是32,点P(0,1)在短轴CD上,且PC—→·PD—→=-1.123456(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得为定值?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.OA—→·OB—→+λPA—→·PB—→123456