（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 椭圆（第2课时）直线与椭圆课

第2课时直线与椭圆第九章§9.6椭圆NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业1题型分类深度剖析PARTONE题型一直线与椭圆的位置关系例1(2019·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，△PF1F2的面积为22.(1)求椭圆C的标准方程；师生共研解由条件可知9a2＋1b2＝1，＝12×2c×1＝c＝22，12PFFS△又a2＝b2＋c2，所以a2＝12，b2＝4，所以椭圆的标准方程为x212＋y24＝1.(2)直线y＝x＋k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.跟踪训练1(1)若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是________________.解析方法一由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，[1,5)∪(5，＋∞)则01m≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.方法二由y＝kx＋1，mx2＋5y2－5m＝0，消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m0且m≠5，∴m≥1且m≠5.(2)(2018·江苏十校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设AM—→＝eAB—→，则该椭圆的离心率e为________.5－12题型二弦长及中点弦问题多维探究例2斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为______.命题点1弦长问题4105解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t，消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1,2＝－4t±25－t25，∴AB＝1＋k2|x1－x2|＝425·5－t2，当t＝0时，ABmax＝4105.例3已知P(1,1)为椭圆x24＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_____________.命题点2中点弦问题x＋2y－3＝0思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，求出两根，结合已知条件，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(k为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.跟踪训练2(1)已知椭圆x236＋y29＝1以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为____.解析设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，－12则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减，得x1＋x2x1－x236＋y1＋y2y1－y29＝0，所以2x1－x29＝－4y1－y29，所以k＝y1－y2x1－x2＝－12.经检验，k＝－12满足题意.解析设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则c＝1.(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB＝3，则椭圆C的方程为___________.x24＋y23＝1因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且AB＝3，所以b2a＝32，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，即椭圆C的方程为x24＋y23＝1.题型三椭圆与向量等知识的综合师生共研例4已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，e＝12，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为14，且AF—→＝λFB—→(其中λ1).(1)求椭圆C的标准方程；故b2＝a2－c2＝3，解由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝12，∴a＝2，∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)求实数λ的值.思维升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想.则c＝3b，c＝1⇒a2－b2＝3b2，a2－b2＝1⇒a2＝43，b2＝13，跟踪训练3已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；解△F1B1B2为等边三角形，椭圆C的方程为3x24＋3y2＝1.(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且F1P—→⊥F1Q—→，求直线l的方程.2课时作业PARTTWO1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是____.基础保分练123456789101112131415162解析由题意知，4m2＋n22，即m2＋n22，∴点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，故所求交点个数是2.123456789101112131415162.直线y＝kx＋k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是______.解析由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.相交3.过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为____.解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.53联立x25＋y24＝1，y＝2x－2，解得交点坐标为(0，－2)，53，43，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝43，∴S△OAB＝12·OF·|yA－yB|＝12×1×－2－43＝53.12345678910111213141516123456789101112131415164.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是_____.解析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，32由点差法可知yM＝－b2a2kxM，代入k＝1，M(－4，1)，解得b2a2＝14，e＝1－ba2＝32.联立直线l与直线OP可得P1m－1，mm－1.5.(2018·南京模拟)已知椭圆C：mx2＋y2＝1(0m1)，直线l：y＝x＋1.若椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，则椭圆C的离心率e的取值范围是________.63，1解析设AB的中点为P，由中点弦问题可知kAB·kOP＝－m，kAB＝－1，kOP＝m，由点P在椭圆内，则m1m－12＋mm－121，得m∈0，13.离心率e＝1－m∈63，1.123456789101112131415166.过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点.设O为坐标原点，则OA—→·OB—→＝_____.解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1.－13代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝43.所以设两个交点坐标为A(0，－1)，B43，13，所以OA—→·OB—→＝(0，－1)·43，13＝－13.同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA—→·OB—→＝－13.12345678910111213141516123456789101112131415167.设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP—→＋OF2—→)·PF2—→＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是___.∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，1解析∵(OP—→＋OF2—→)·PF2—→＝(OP—→＋F1O—→)·PF2—→＝F1P—→·PF2—→＝0，∴＝12mn＝1.12FPFS△123456789101112131415168.椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于_______.从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.3－1解析直线y＝3(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.123456789101112131415169.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若AB＝10，AF＝6，cos∠ABF＝45，则椭圆C的离心率e＝____.解析设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得BF＝8，所以△ABF为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以OF＝c＝5，连结AF1，因为A，B关于原点对称，所以BF＝AF1＝8，57所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝57.1234567891011121314151610.已知直线MN过椭圆x22＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点.直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则PQ2MN＝_____.22解析不妨取直线MN⊥x轴，椭圆x22＋y2＝1的左焦点F(－1,0)，令x＝－1，得y2＝12，所以y＝±22，所以MN＝2，此时PQ＝2b＝2，则PQ2MN＝42＝22.11.已知椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线为x＝8，离心率e＝12.解设点P(x，y)为椭圆上一点，(1)求椭圆C的方程；由统一定义得x－22＋y2|8－x|＝12，两边同时平方得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，化简得x216＋y212＝1.故椭圆C的方程为x216＋y212＝1.12345678910111213141516解设椭圆的另一个焦点为F2(－2,0)，过F2且倾斜角为45°的直线方程为y＝x＋2，(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长.与椭圆x216＋y212＝1联立消去y，得7x2＋16x－32＝0.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2＝－8±1227，x1＋x2＝－167，＝2×4＋12(x1＋x2)＝487.AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2＝2a＋e(x1＋x2)1234567891011121314151612.设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；解过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为433，所