（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件

§9.3圆的方程第九章平面解析几何KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题.题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理圆的定义与方程ZHISHISHULI定点定义平面内到的距离等于的点的集合叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心为______半径为__一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：______________圆心坐标：___________半径r＝_______________定长(a，b)rD2＋E2－4F0－D2，－E212D2＋E2－4F1.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组.(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.【概念方法微思考】2.点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析×√√123456(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.()×√123456(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.()题组二教材改编1234562.[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是_________.(2，－3)解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3).3.[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________.(x－2)2＋y2＝10123456解析设圆心坐标为(a,0)，易知a－52＋－12＝a－12＋－32，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠1234564.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是___________________________.(－∞，－22)∪(22，＋∞)解析将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得x＋m22＋(y－1)2＝m24－2.由其表示圆可得m24－20，解得m－22或m22.－1a11234565.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________.解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)24，即－1a1.6.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是___________________.123456∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去).(x－2)2＋(y－1)2＝1解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一圆的方程师生共研例1求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程.思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.跟踪训练1(1)(2018·如皋模拟)已知圆C过点(2，3)，且与直线x－3y＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C的方程为________________.(x－1)2＋y2＝4则b－3a×33＝－1，a－22＋b－32＝a2＋b－32，解析设圆心为(a，b)，半径为r，解得a＝1，b＝0，则r＝2，即所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，则该圆的方程为___________________________________________.例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.题型二与圆有关的最值问题师生共研即|2＋－3－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.解设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.引申探究1.在本例的条件下，求yx的最大值和最小值.解yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.yx设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2.在本例的条件下，求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.解x2＋y2＋2x－4y＋5＝x＋12＋y－22，又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.跟踪训练2已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，求：(1)yx的最大值和最小值；表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x的最大值和最小值；解y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，其在y轴上的截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2的最大值和最小值.解如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.题型三与圆有关的轨迹问题师生共研例3已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.②定义法：根据圆、直线等定义列方程.③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.3课时作业PARTTHREE基础保分练12345678910111213141516(－2，－4)1.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是___________.当a＝2时方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，x＋122＋(y＋1)2＝－54不表示圆.解析由题意得a2＝a＋2，a＝－1或2.当a＝－1时方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；12345678910111213141516(0，－1)2.已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为_________.解析圆C的方程可化为x＋k22＋(y＋1)2＝－34k2＋1，所以当k＝0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，－1).123456789101112131415163.若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是___________________.又因为圆与直线y＝1相切，所以22＋m2＝|1－m|，(x－2)2＋y＋322＝254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m).解得m＝－32.所以圆C的方程为(x－2)2＋y＋322＝254.12345678910111213141516(x－1)2＋(y＋2)2＝254.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是____________________.解析设出要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.12345678910111213141516(x＋3)2＋(y＋1)2＝15.已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为___________________.联立方程组3x－4y＋5＝0，y＝－x－4，解得x＝－3，y＝－1，解析到直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.12345678910111213141516x2＋y2－10y＝06.圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是_____