（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.9 函数与方程课件

§2.9函数与方程第二章函数KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度．NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根.知识梳理1.函数的零点ZHISHISHULIf(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点_________________无交点零点个数______(x1,0)，(x2,0)(x1,0)210【概念方法微思考】函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1234561.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x).()×××√题组二教材改编1234562.[P93练习T3]函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是.1解析由f′(x)＝ex＋30，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点.1234563.[P97习题T8]已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是.(－2,0)解析结合二次函数f(x)＝x2＋x＋a的图象(图略)知f00，f10，故a0，1＋1＋a0，所以－2a0.题组三易错自纠1234564.若函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(k，k＋1)，则k＝.0解析易知函数f(x)在R上单调递增，∵f(0)＝－10，f(1)＝e－10，即f(0)·f(1)0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内，即k＝0.1234565.函数f(x)是[－1,1]上的增函数，且f－12·f120，则方程f(x)＝0在[－1,1]内有个实数根.1解析∵f(x)在[－1,1]上是增函数，且f－12·f120，∴f(x)＝0在－12，12上有唯一实根，∴f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实根.6.已知函数f(x)＝x－(x0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为.(用“”连接)x解析作出y＝x与y＝x(x0)，y＝－ex，y＝－lnx(x0)的图象，123456x2x3x1如图所示，可知x2x3x1.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一函数零点所在区间的判定师生共研例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；解方法一因为f(1)＝－200，f(8)＝220，所以f(1)f(8)0，故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点.方法二令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点.(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；解因为f(－1)＝－10，f(2)＝50，f(－1)f(2)0，故f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点.(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3].解因为f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3log28－3＝0，所以f(1)f(3)0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点.思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理.对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解.跟踪训练1已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a≠1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝.2解析对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y1，当x＝3时，可得y1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.题型二函数零点个数的判断师生共研例2(1)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是.2解析当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x0时，f′(x)＝2＋1x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为.2解析由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x0)，y＝lnx(x0)的图象，如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(3)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内零点个数为.1解析当x∈0，1时，因为f′(x)＝12x＋sinx，x0，sinx0，所以f′(x)0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－10，f(1)＝1－cos10，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点.当x1时，f(x)＝x－cosx0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点.思维升华函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图象的交点个数判断.易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个.跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≤0，|lgx|，x0，则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为.3解析g(x)＝f(1－x)－1＝1－x2＋21－x－1，1－x≤0，|lg1－x|－1，1－x0＝x2－4x＋2，x≥1，|lg1－x|－1，x1，(2)函数f(x)＝4cos2x2·cosπ2－x－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为.2解析f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin2x(x－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x－1)的图象的交点个数.分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点.所以实数a的取值范围是2，103.题型三函数零点的应用多维探究例3(1)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是.命题点1根据函数零点个数求参数2，103解析由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解，设t＝x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103.由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0m1，即m∈(0,1).(2)已知函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是.(0,1)解析画出函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0的图象，如图所示.m需满足m≠2，f－1·f00，f1·f20，即m≠2，m－2－m＋2m＋12m＋10，m－2＋m＋2m＋1[4m－2＋2m＋2m＋1]0，命题点2根据函数零点的范围求参数例4若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是.14，12解析依题意，结合函数f(x)的图象(图略)分析可知，解得14m12.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.跟踪训练3(1)方程有解，则a的最小值为.12log(2)2xax－＝＋则122＋x＝a－2x有解，即1412x＋2x＝a有解，1解析若方程有解，12log(2)2xax－＝＋因为1412x＋2x≥1，所以a≥1，故a的最小值为1.(2)已知函数f(x)＝2x－1，x0，x2＋x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是.－14，0解析作出函数f(x)的图象如图所示.当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝x＋122－14≥－14，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－14m≤0，即实数m的取值范围是－14，0.思想方法SIXIANGFANGFA利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决.例(1)若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为.{2}解析f(x)是偶函数，若f(x)有唯一零点，故f(0)＝0，由f(0)＝0，得m2＋2m－8＝0，解得m＝2或m＝－4.当m＝2时，f(x)＝x2－2cosx＋2＝x2＋4sin2x2有唯一零点x＝0；当m＝－4时，f(x)＝x2＋4cosx－4.因为f(2)＝4cos20，f(π)＝π2－80，所以在(2，π)内也有零点，不合题意.(2)已知函数若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，21211()log1xxfxxxìïïï=íïïïî－，，，，≥则实数k的取值范围是.(－1,0)解析关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0).解析由方程，解得a＝－22x＋12x＋1，设t＝2x(t0)，(3)若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为.(－∞，2－22]则a＝－t2＋1t＋1＝－t＋2t＋1－1＝2－t＋1＋2t＋1，其中t＋11，由基本不等式