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第八章立体几何高考专题突破四高考中的立体几何问题NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业1题型分类深度剖析PARTONE题型一平行、垂直关系的证明师生共研例1(2018·南京、盐城、连云港模拟)如图，已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点.(1)求证：MN∥平面BEC；(2)求证：AH⊥CE.证明因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC⊂平面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABE.因为AH⊂平面ABE，所以BC⊥AH.因为AB＝AE，H为BE的中点，所以BE⊥AH.因为BC∩BE＝B，BC⊂平面BEC，BE⊂平面BEC，所以AH⊥平面BEC.又因为CE⊂平面BEC，所以AH⊥CE.思维升华(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)求证：C1F∥平面ABE；题型二立体几何中的计算问题多维探究命题点1求线线角和线面角例2如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1)求异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值.(2)若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝π2－β或θ＝β－π2，故有sinθ＝|cosβ|＝|l·n||l||n|.(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.思维升华则AC1—→＝(1,1,1)，A1B—→＝(1,0，－1)，跟踪训练2(2018·宿迁期末)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.(1)若t＝1，求异面直线AC1与A1B所成角的大小；解当t＝1时，A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)，故cos〈AC1—→，A1B—→〉＝AC1—→·A1B—→|AC1—→|·|A1B—→|＝0，所以异面直线AC1与A1B所成的角为90°.(2)若t＝5，求直线AC1与平面A1BD所成角的正弦值.例3如图，以正四棱锥V－ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，点E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈BE—→，DE—→〉＝－1549.(1)求ha的值；命题点2求二面角(2)求二面角B－VC－D的余弦值.(1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.思维升华跟踪训练3如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.(1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；证明∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD.∵四边形ABCD是菱形，∴CO⊥BD.∵A1O∩CO＝O，A1O，CO⊂平面A1CO，∴BD⊥平面A1CO.∵BD⊂平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D.(2)若∠BAD＝60°，求二面角B－OB1－C的余弦值.题型三立体几何中的探索性问题师生共研例4如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝22，BC＝42，PA＝2.(1)求证：AB⊥PC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2)平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.思维升华跟踪训练4如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积.2课时作业PARTTWO基础保分练1234561.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD.(1)证明：BC⊥PB；(2)若PA⊥PD，PB＝AB，求二面角A－PB－C的余弦值.1234562.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)证明：A1O⊥平面ABC；证明∵AA1＝A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC.123456(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值.1234563.如图，多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB＝2，AE＝3，DE＝5，二面角E－AD－C的余弦值为55，且EF∥BD.(1)证明：平面ABCD⊥平面EDC；123456(2)求平面AEF与平面EDC所成锐二面角的余弦值.1234564.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.(1)若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成角的大小；123456(2)若N是CC1的中点，直线A1B与平面PMN所成角的正弦值为77，求线段BP的长度.1234565.等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足ADDB＝CEEA＝12，如图1.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1—DE—B为直二面角，连结A1B，A1C，如图2.(1)求证：A1D⊥平面BCED；技能提升练123456(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.12345636.如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，EC⊥BD.(1)求证：平面BED⊥平面ABCD；拓展冲刺练123456(2)若点P在侧面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值.123456