（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.4 空间几何体的表面积与体积课件

§8.4空间几何体的表面积与体积第八章立体几何KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析考查简单几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，以填空题为主，中低档难度.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE3.叫做正棱台，其侧面积公式是；台体的体积公式是_________________________.2.，则该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面积公式是；锥体的体积公式为___________.知识梳理1.叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是，_______________________叫做正棱柱.柱体的体积公式是.ZHISHISHULI侧棱和底面垂直的棱柱S直棱柱侧＝ch底面为正多边形的直棱柱V柱体＝Sh如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心S正棱锥侧＝12ch′V锥体＝13Sh正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分S正棱台侧＝12(c＋c′)·h′V台体＝13h(S＋SS′＋S′)4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、；圆柱的侧面积公式是，圆锥的侧面积公式为，圆台的侧面积公式为.5.若球的半径为R，则球的体积V＝，球的表面积S＝.矩形扇形扇环S圆柱侧＝cl＝2πrlS圆锥侧＝12cl＝πrlS圆台侧＝12(c＋c′)l＝π(r＋r′)l43πR34πR21.如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和.2.如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.【概念方法微思考】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(3)锥体的体积等于底面积与高之积.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析√√×√123456(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.()(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()32×题组二教材改编1234562.[P54T2]把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为___.解析设圆柱的高为h，则有πR2h＝3×43πR3，4R∴h＝4R.54123456解析因为正三棱柱的高为352－32＝6(cm)，所以侧面积为3×3×6＝54(cm2).3.[P49T1]已知正三棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长为3cm，则这个正三棱柱的侧面积是_____cm2.51234562704.[P54T3]一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为53cm，则它的体积为_____cm3.解析体积V＝13Sh＝13×6×12×6×6×32×53＝270(cm3).12π1234565.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____.解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.3题组三易错自纠6.已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为_______.a32π或a3π则当l＝2a时，2πr＝a，∴r＝a2π，解析设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，这时V圆柱＝2a·πa2π2＝a32π；当l＝a时，2πr＝2a，∴r＝aπ，这时V圆柱＝a·πaπ2＝a3π.综上，该圆柱的体积为a32π或a3π.1234562题型分类深度剖析PARTTWO题型一求空间几何体的表面积自主演练1.(2018·全国Ⅰ改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为_____.12π解析设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.∴3a＝2r＝2，∴a＝233.2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为_____.233解析依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径.设侧棱长为a，外接球的半径为r.由外接球的表面积为4π，得r＝1，3.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是1cm，则它的侧面积为_____cm2.解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1cm，下底长为2cm，高为正六棱台的斜高.972又边长为1cm的正六边形的中心到各边的距离是32cm，边长为2cm的正六边形的中心到各边的距离是3cm，则梯形的高为1＋3－322＝72(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×12×(1＋2)×72＝972(cm2).思维升华求空间几何体表面积的注意点(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.例1(1)(2018·宿迁模拟)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P－ABA1的体积为______.题型二求空间几何体的体积师生共研点B到面APA1的距离为332，△APA1的面积为92，934解析三棱锥P－ABA1的体积等于三棱锥B－APA1的体积，故三棱锥P－ABA1的体积为934.(2)(2018·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点.当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为____.13思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.跟踪训练1(1)(2018·江苏南京一中调研)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是____.解析由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，∴该正四棱锥的高h＝322－122＝22，26∴其体积V＝13×12×22＝26.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为_____.23(3)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为___.1解析如题图，因为△ABC是正三角形，且D为BC中点，则AD⊥BC.又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD是三棱锥A－B1DC1的高.所以＝13·AD＝13×3×3＝1.11ABDCV－三棱锥11BDCS△3题型三表面积和体积的综合问题多维探究此时AC1＝14，MC1＝22，AM＝2，3解析将直三棱柱ABC－A1B1C1沿棱BB1展开成平面图形，连结AC1到AC1与BB1的交点即满足AM＋MC1最小，∴cos∠AMC1＝2＋8－142×2×22＝－12，∴sin∠AMC1＝32，∴＝12×2×22×32＝3.1AMCS△命题点1侧面展开图的应用例2(1)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为____.5(2)(2018·无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________.∴l＝3r，12×23π·l2＝3π，∴l＝3，r＝1，232π解析设圆锥侧面母线长为l，底面半径为r，∴圆锥高h＝32－12＝22，∴V圆锥＝13π×22＝232π.命题点2和球有关的表面积、体积问题132解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，例3已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为____.所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.从而V外接球＝43πR3＝43π×(23)3＝323π，V内切球＝43πr3＝43π×23＝32π3.2.本例若将直三棱柱改为“棱长为a的正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×34·a2＝3a2，其内切球半径r为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2πa26＝63π.思维升华(1)侧面展开图体现的是一种转化思想.用于寻找两种情况下图形长度或角度间的关系.(2)球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径.解析连结AC，BD，易知AC⊥平面BDD1B1，跟踪训练2(1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝22，则三棱锥B－AEF的体积为______.112则V三棱锥B－AEF＝V三棱锥A－BEF＝13×AC2×S△BEF＝13×AC2×12×EF×BB1＝13×22×12×22×1＝112.所以AB＝6，(2)(2018·全国Ⅲ改编)设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为_______.183解析由等边△ABC的面积为93，可得34AB2＝93，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为13×93×6＝183.3课时作业PARTTHREE基础保分练12345678910111213141516解析由题意得，直四棱柱的侧棱长为232－22＝22，1.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该直四棱柱的侧面积为______.3162所以该直四棱柱的侧面积S＝cl＝4×2×22＝162.1234567891011121314151612.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，则三棱锥B1－ABD1的体积为_____cm3.＝13·A1D1＝13×12×3×1×2＝1.1ABBS△11BABDV－三棱锥11DABBV－三棱锥解析三棱锥B1－ABD1的体积＝12345678910111213141516解析由V1V2＝3a3πr3＝3π，得a＝r，S1S2＝6a22πr2＝32π.3.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若V1V2＝3π，则S1S2的值为______.32π1234567891011121314151664.(2018·南京学情调研)已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的高为____.解析设圆锥N的底面半径为r，则它的母线长为2r，从而它的高为3r，由圆柱M与圆